第一类斯特林数

摘自：

https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6724661.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind#cite_note-22

 https://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/50876786

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

定义：（s(n,k)带符号）

　　　　　　　

  

符号说明：

 　　　　

　　　　　　

 

斯特林数跟下降上升阶乘幂有关：

怎么来的？不好意思这个网上资料似乎还真没法直接构造原理证明，只能间接归纳法证明

因为，实质上维基百科上斯特林数的通项公式为：

 

 

 

间接证明如下：

 

 

 另一方面，

下降阶乘就是排列数

　　

所以

       　　 

              　　    

 

 一个性质：

　　　　　　　　

证明：

　　　 

 

 
解决自然数幂和：

设：

      且发现，

　　

　　联想到求和的那个东西下降阶乘中斯特林表达式出现过，将i=k的n^k那一项提取出来：