MIT_单变量微积分_21

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1.功、平均值、概率

Ex:平均值：
$\frac{y_1+y_2+...+y_n}{n} \to \frac{1}{b-a}\int_z^bf(x)dx$

$a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b\\ y_1=f(x_1),y_2=f(x_2),y_3=f(x_3)\\ 黎曼和:\\ \frac{(y_1+....+y_n)\Delta x}{b-a} \to \frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a} (\Delta x \to \infty)\\ \frac{\Delta x}{b-a}=\frac{1}{n}$
Ex: $f(x)=C$求平均值。
$\frac{1}{b-a}\int_a^bCdx=C$

Ex:点在单位半圆上的平均高度

$\frac{1}{1-(-1)}*\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}*\frac{n}{2}=\frac{\pi}{4}$
Ex:上图弧长的平均值 $(0 \leq \theta \leq \pi)$
$\frac{1}{\pi}\int_0^{\theta}sin \theta d \theta =-\frac{1}{\pi}*cos \theta |_0^{\pi}=\frac{-1}{\pi}(-2)=\frac{2}{\pi}$

加权平均值：
$\frac{\int_a^bf(x)w(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}$

• 解释1： $AVC(C)=C$
  $\frac{\int_a^bCw(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}=\frac{C\int_a^bw(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}=C$
• 解释2：股票例子
  $\frac{10w_1+20w_2+30w_3}{w_1+w_2+w_3}$
  Ex:坩埚例子：
  
  初始： $T=0$
  最终： $T=100-30y$
  能量= 体积 * 温度
  $\int_0^1T\pi x^2dy\\ =\int_0^1(100-30y)\pi ydy\\ =\int_0^1100\pi y-30\pi y^2dy\\ =50\pi y^2-10\pi y^3|_0^1\\ =40\pi$

最后的平均温度：
$\frac{\int_0^1T\pi y dy}{\int_0^1\pi y dy}=\frac{40 \pi}{\frac{\pi}{2}}=80^0$
平常的平均温度：
$\frac{T_{max}+T_{min}}{2}=\frac{100+70}{2}=85^0$

2. 概率

Ex: $0<y<1-x^2$,使得 $y>\frac{1}{2}的概率$
$\frac{\int_\frac{1}{2}^1(1-x^2)dx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx}=P(x>\frac{1}{2})$
求概率的通常的公式：
$a \leq x_1 \leq x_2 \leq b,P(x_1<x<x_2)=\frac{\int_{x_1}^{x_2}w(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}=\frac{Part}{Total}$
Ex:靶子问题： $f=Ce^{-r^2}$(模型)

$PART=\int_{r_1}^{r_2}2\pi re^{-r^2}dr\\ =-\pi e^{-r^2}|_{r_1}^{r_2}\\ =\pi(e^{-r_1^2}-e^{-r_2^2})\\ PART=C\pi(e^{-r_1^2}-e^{-r_2^2})\\ Whole=C\pi(e^{0^2}-e^{-\infty^2})\\ =C\pi\\ \frac{PART}{WHOLE}=e^{r_1^2}-e^{r_2^2}$
Ex:假设在靶子旁边站着一个人。求小人被射中的概率。 $\frac{2}{12}*P(2a<r<3a)=?$

$P(0<r<a)=\frac{1}{2}\\ e^{-0^2}-e^{-a^2}=\frac{1}{2}\\ e^{-a^2}=\frac{1}{2}\\ P(2a<r<3a)=e^{-(2a)^2}-e^{-(3a)^2}\\ =e^{(-a^2)^4}-e^{(-a^2)^9}\\ =(\frac{1}{2})^4-\frac{1}{2}^9\\ \approx \frac{1}{16}$

$\frac{2}{12}*P(2a<r<3a)=\frac{1}{32}$.
权重为： $w(r)=2\pi c t e^{-2}$