MIT_单变量微积分_20

版权声明： https://blog.csdn.net/qq_38386316/article/details/88647077

1.壳层法、圆盘法求体积

Ex 利用切片球体积。

$V=\int A(x)dx$

Ex:旋转立方体,绕x轴旋转(圆盘法)。

$dv=\pi y^2dx$

Ex:半径为 $a$球的体积。

$圆盘法：dy=\pi y^2dx\\ 圆：(x-a)^2+y^2=a^2\\ y^2=a^2-(x-a)^2\\ =2ax-x^2\\ V=\int_0^{2a}\pi(2ax-x^2)dx\\ =\pi(ax^2-\frac{x^3}{3})|_0^{2a}\\ =\pi(4a^3-\frac{8a^3}{3})\\ =\frac{4}{3}\pi a^3$
Ex:如图所示，类似于坩埚，绕y轴旋转(壳层法)。

$dv=(2\pi x)(a-y)dx\\ =2\pi x(a-x^2)dx\\ =2\pi (ax-x^3)dx\\ V=\int_0^{\sqrt{a}}2\pi(ax-x^3)dx\\ =(\pi ax^2-2\pi\frac{x^4}{4})|_0^{\sqrt{a}}\\ =\pi a^2-\frac{\pi a^2}{2}\\ =\frac{\pi}{2}a^2$