MIT.单变量微积分（1）

第3课：

导数的加法法则： $(u + v)' = u' + v'$
导数的数乘法则： $(cu)' = cu'$
可去间断点： $A : g (x) = \frac{s i n (x)}{(x)}, lim_{x \to 0} \frac{s i n (x)}{x} = 1$ $A: \;\;\;\;g(x) = \frac{sin(x)}{(x)},\;\;\;\;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1$
$B : h (x) = \frac{1 - c o s (x)}{x}, lim_{x \to 0} \frac{1 - c o s (x)}{x} = 0$ $B:\;\;\;\; h(x) = \frac{1-cos(x)}{x},\;\;\;\;\;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x} = 0$
$sin(x)' = cos(x)$ 和 $(cosx)'= -sin(x)$ 的证明： $\frac{s i n (x + Δ x) - s i n (x)}{Δ x} = \frac{s i n x c o s Δ x + c o s x s i n Δ x - s i n x}{Δ x} = s i n x (\frac{c o s Δ x - 1}{Δ x}) + c o s x (\frac{s i n Δ x}{Δ x}) = c o s x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \frac{c o s (x + Δ x) - c o s x}{Δ x} = \frac{c o s x c o s Δ x - s i n x s i n Δ x - c o s x}{Δ x} = c o s x (\frac{c o s Δ x - 1}{Δ x}) - s i n x (\frac{s i n Δ x}{Δ x}) = - s i n x$ $\frac{sin(x+\Delta x) - sin(x)}{\Delta x} = \frac{sinxcos\Delta x + cosxsin\Delta x - sinx}{\Delta x}\\=sinx(\frac{cos \Delta x - 1}{\Delta x}) + cosx(\frac{sin \Delta x}{\Delta x})\\=cosx \\ --------------------------------------\\ \frac{cos(x + \Delta x)- cos x}{\Delta x}=\frac{cosxcos\Delta x - sinx sin \Delta x - cosx}{\Delta x}\\=cosx(\frac{cos \Delta x - 1}{\Delta x})- sinx(\frac{sin \Delta x}{\Delta x})\\=-sinx$
使用极限几何证明A、B。
- 证明 A:
  
  $Δ x \to Θ, \frac{弓弦}{弓} = \frac{2 s i n Θ}{2 Θ} \to 1$ $\Delta x \rightarrow \Theta,\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{弓弦}{弓} = \frac{2 sin \Theta}{2 \Theta} \rightarrow 1$
- 注：极短的曲线可以看作直线。
- 证明B:

\frac{1 - c o s Θ}{Θ} \to 0, 前 提 ： 这 个 圆 还 是 单 位 圆 。 当 红 色 部 分 很 小 时 ， 即 Θ 很 小 的 时 候 ， 等 式 便 为 0 。

$\frac{1-cos\Theta}{\Theta}\rightarrow 0,\;\;\;\;\;\;\;前提：这个圆还是单位圆。当红色部分很小时，即\Theta 很小的时候，等式便为0。$

证明： $\frac{\Delta y}{ \Delta \Theta} = cos\Theta$

O R ⊥ P Q, Q R ⊥ P R, Δ y = P R, P Q \approx Δ Θ, \frac{Δ y}{Δ Θ} = c o s Θ

$OR \perp PQ ,QR \perp PR ,\Delta y = PR, PQ \approx \Delta \Theta,\frac{\Delta y}{ \Delta \Theta} = cos\Theta$

$(\frac{u}{v})' = \frac{(u'v - uv')}{v^2}\;\;\;\;\;\;\;\;(v \neq 0)$
$(uv)'=(u'v+uv')$

$Pf:$

Δ (u v) = u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x) = (u (x + Δ x) - u (x)) v (x + Δ x) + u (x) (v (x + Δ x) - v (x)) = Δ u v (x + Δ x) + u (x) Δ v \frac{Δ (u v)}{Δ x} = \frac{Δ u}{Δ x} v (x + Δ x) + \frac{u Δ v}{Δ x} 由 于 Δ x \to 0 所 以 ， \frac{d (u v)}{d x} = \frac{d u}{d x} \cdot v + u \frac{d v}{d x}

$\Delta (uv) = u(x + \Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x)\\=(u(x+\Delta x) - u(x))v(x+\Delta x)+u(x)(v(x+\Delta x)- v(x))\\=\Delta uv(x+\Delta x)+u(x)\Delta v \\ \frac {\Delta (uv)}{\Delta x}= \frac{\Delta u}{\Delta x}v(x + \Delta x) + \frac{u \Delta v}{ \Delta x}\\由于\Delta x \rightarrow 0 所以，\\ \frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx} \cdot v+ u \frac{dv}{dx}$

Δ (\frac{u}{x}) = \frac{u + Δ x}{v + Δ v} - \frac{u}{v} = \frac{u v + (Δ u) v - u v - u Δ v}{(v + Δ v) v} = \frac{(Δ u) v - u Δ v}{(v + Δ v) v} \frac{Δ (\frac{u}{x})}{Δ x} = \frac{\frac{Δ u}{Δ x} v - u \frac{Δ v}{Δ x}}{(v + Δ v) v} 由 于 Δ x \to 0, 所 以 \frac{d}{d x} (\frac{u}{v}) = \frac{\frac{d u}{d x} \cdot v - u \frac{d v}{d x}}{v \cdot v}

$\Delta (\frac{u}{x})=\frac{u + \Delta x}{v + \Delta v}-\frac{u}{v}\\=\frac{uv+(\Delta u)v- uv - u\Delta v}{(v + \Delta v)v}\\=\frac{(\Delta u)v- u \Delta v}{(v + \Delta v)v}\\\frac{\Delta(\frac{u}{x})}{\Delta x}=\frac{\frac{\Delta u}{\Delta x}v-u\frac{\Delta v}{\Delta x}}{(v + \Delta v )v}\\由于\Delta x \rightarrow 0,所以\\\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{\frac{du}{dx} \cdot v - u \frac{dv}{dx}}{v \cdot v}$

MIT.单变量微积分（1）

第3课：

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