MIT_单变量微积分_17

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1.微积分第一基本定理

注释：
如果 $F'(x)=f(x)$,则 $\int_a^bf(x)dx=F(a)-F(b)=F(x)|_a^b$

Ex: $F(x)=\frac{x^3}{3}$

$F'(x)=x^2=f(x),\int_a^bf(x)dx=F(a)-F(b)=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}$

$当a= 0时,\int_a^bx^2dx=\frac{x^3}{3}|_0^b=\frac{b^3}{3}$

Ex:求 $sinx函数与x轴的阴影面积。（0->\pi）$
$\int_0^\pi sinxdx=(-cos \pi)|_0^\pi = 1+1=2$

2.定积分的几何意义：

x轴上方面积 $-$x轴下方面积。

3.性质

• $\int_a^b(f(x) +g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$
• $\int_a^bCf(x)dx=C\int_a^bf(x)dx$
• $\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$
• $\int_a^af(x)dx=0$
• $\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$
• 积分估计：

如果 $f(x)>g(x)$,则 $\int_a^bf(x)dx\leq\int_a^bg(x)dx(a<b)$

Ex: $e^x\geq 1，x \geq 0$.
$\int_a^be^xdx \geq \int_a^b1dx$
$e^b-1 \geq b$
$e^b \geq 1+b$

Ex: $e^x \geq1+x,x \geq0$
$\int_0^be^xdx \geq \int_0^b(1+x)dx$
$e^b-1 \geq b+\frac{b^2}{2}$
$e^b\geq b+1+\frac{b^2}{2}$

• 变量替换：

$\int_{u_1}^{u_2}g(u)=\int_{x_1}^{x_2}g(u(x))u'(x)dx$

Ex: $\int_1^2(x^3+2)^5x^2dx$

令 $u=x^2+2,du=3x^2$
原式 $=\int_3^{10}u^5\frac{1}{3}du$
$=\frac{1}{18}u^6|_3^{10}=\frac{10^6}{18}-\frac{3^6}{18}$

Wanning:
$\int_{-1}^{1}x^2 dx =\neq \int_1^1u\frac{1}{2\sqrt{u}}du=0\\ u=x^2,du=2xdx.\\ dx=\frac{du}{2x}$

$u=x^2,u'(x)=2x \left\{\begin{matrix} & >0, &(x>0) \\ & <0, &(x<0) \end{matrix}\right.$