MIT_单变量微积分_23

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Ex: 哈哈哈，这个图用viso有点儿难画…,左图想要表达的是 $y=2^{-r^2}$的三体旋转图。

由上图的右图可知： $r^2=b^2+x^2，e^{-r^2}=e^{-(b^2+x^2)}=e^{-b^2}*e^{-x^2}=Ce^{-x^2}$
$A(b)=\int_{\infty}^{\infty}e^{-b^2}e^{-x^2}dx\\ =e^{-b^2}\int_{\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\\ =e^{-b^2}Q$
$V=\int_{\infty}^{\infty}A(y)dy\\ =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}Qdy\\ =Q\int_{\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\ =Q^2$

Ex： $y=e^{-r^2}$
(1)

$V= \int_0^{\infty} 2\pi r e^{-r^2}dr\\ =(-\pi e^{-r^2})|_0^{\infty}\\ =\pi (1-0)\\ =\pi$

(2)
$V=Q^2=V=\pi\\ Q=\sqrt{\pi}$
(3)
$F(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt,F(\infty)=\int_0^{\infty}e^{-t^2}dt$

$Q=2F(\infty),F(\infty)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$