MIT_单变量微积分_18

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1.微积分第二基本定理

均值定理：
$\Delta F=F(b)-F(a),\Delta x = b- a\\ \Delta F= \int_a^bf(x)dx(FTC1)\\ \frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx,相等于将f平分。\\ \Delta F=Avg(F')\cdot\Delta x \leq(maxF')\Delta x\\ (minF')\Delta x \leq \Delta F=F'(c)\Delta x(MVT) \leq (maxF')\Delta x$

Ex: $F'(x)=\frac{1}{x+1},F(0)=1$，由均值定理推断可知： $A<F(4)<B$, $A和B$分别等于多少？
$F(4)-F(0)=F'(C)*(4-0)=\frac{1}{c+1} \cdot 4\\ \frac{1}{1+4}=\frac{4}{5} \leq \frac{1}{c+1} \cdot 4 \leq 4= \frac{1}{1+0} \cdot 4\\ \frac{9}{5} \leq F(4) \leq5$

• 解释-FTC1:
  $F(4)-F(0)=\int_0^4\frac{1}{1+x}dx <\int_0^4dx=4$
  $F(4)-F(0)=\int_0^4\frac{1}{1+x}dx > \int_0^4\frac{1}{5}dx=\frac{4}{5}$
  几何意义： $下黎曼和<黎曼和<上黎曼和$
  
  FTC2:已知函数 $f$是连续的， $G(x)=\int _a^xf(t)dt(a\leq t \leq x),G'(x)=f(x),G(x)可解出方程$
  $\left\{\begin{matrix} y'=f& \\ y(a)=0& \end{matrix}\right.$
  Ex: $\frac{d}{dx}\int_1^x\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{x^2}$
  
  $\Delta G\approx \Delta xf(x)$
  $\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta G}{\Delta x}}=f(x)$

FTC1 证明：
$F'=f,假设f连续\\ G(x)=\int_a^xf(t)dt\\ 由FTC2 \Rightarrow G'(x)=f(x)\\ F'(x)=G'(x) \Rightarrow F(x)=G(x) +C\\ F(b)-F(a)=(G(b)+C)-(G(a)+C)\\ =G(b)-G(a)\\ =\int_a^bf(x)dx-0$

Ex: $L'(x)=\frac{1}{x},L(1)=0,L(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}$

Ex:
新函数： $y'=e^{-x^2},y(0)=0,F(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt$
如图所示：时钟函数。 $y=e^{-x^2}$