MIT_单变量微积分_19

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1.定积分在对数和几何上的应用

FTC2:
$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)d(t)=f(x)\\ y'=\frac{1}{x};L(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\\ L'(x)=\frac{1}{x};L(x) = \int _1^1\frac{dt}{t}=0\\ L'' = -\frac{1}{x^2}\\ L(1) = 0; L'(1)=1$
$L(e) = 1$，

为什么 $L(x) < 0, x < 1$???

• L(1) = 0 , L递增
• $L(x) = \int_1^x\frac{dt}{t}=-\int_x^1\frac{dt}{t}$

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$L(ab)=L(a)+L(b)\\ \int_1^{ab}\frac{dt}{t}=\int_1^{a}\frac{dt}{t}+\int_a^{ab}\frac{dt}{t}\\ 由于 \int_a^{ab}\frac{dt}{t}=\int_1^b\frac{adu}{au}=\int_1^b\frac{du}{u}=L(b)\\ t = au, dt = adu$

Ex: $\int_0^xe^{-t^2}dt$
$F'(x)=e^{-x^2},F(0)=0, F'(0)=e^{0^2}=1\\ F''=-2xe^{-x^2}\left\{\begin{matrix} <0&,x > 0 \\ >0&,x<0 \end{matrix}\right.$
如图所示： $F''$图像，虚线为 $y=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$,为奇函数， $F(-x)=-F(x)$

如图所示： $F'=e^{-x^2}$

$\lim_{x \to \infty} F(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt=\frac{2}{z}$

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扩展的特殊函数：

• $Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{ln t} \approx primes(素数个数) < x$
• $\left.\begin{matrix} C(x)=\int_0^xcos(t^2)dt& \\ S(x)=\int_0^xsin(t^2)dt& \end{matrix}\right\}菲涅耳积分\\ H(x)=\int_0^x\frac{sint}{t}dt(傅里叶级数)$

Ex:关于曲线积分围城的面积

$Area=\int_a^b(f(x)-g(x))dx$

Ex求 $x=y^2$和 $y=x-2$围成的面积。

• （垂直切分）
  $Area=\int_0^1(\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))dx+\int_1^4(\sqrt{x}-(x-2))dx=...$
• （横向切分）

$Area=\int_{-1}^2((y+2)-y^2)dy=(\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3})|_{-1}^2=\frac{9}{2}$