MIT_单变量微积分_22

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1. 数值积分

计算数值积分的方法：

• 黎曼和
• 梯形法
• 辛普森

（1）黎曼和

$a=x_0<x_1<x_2......<x_n=b$
目标： 求平均数或和。
黎曼和:
$(y_0+y_1+.....+y_{n-1})\Delta x(左边)\\ (y_1+y_2+.....+y_{n})\Delta x(右边)$

（2）梯形法：

$\Delta x(\frac{y_0+y_1}{2}+\frac{y_1+y_2}{2}+.....+\frac{y_{n-2}+y_{n-1}}{2}\frac{y_{n-1}+y_n}{2})\\ =\Delta x(\frac{y_0}{2}+y_1+y_2+........+\frac{1}{2}y_n)\\ =\frac{左黎曼和+右黎曼和}{2}$
（3）辛普森：

$Arer 面积=2\Delta *(\frac{y_0+4y_2+y_2}{6})\\ \frac{2\Delta x}{6}\{( y_0+4y_1+y_2)+( y_2+4y_3+y_4)+...+( y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n)\}\\ =\frac{\Delta x}{3}(y_0+4y_1+2y_2+4y_3+....+y_n)$
Ex: $\int_1^2\frac{dx}{x}=lnx|_1^2=ln2-ln1=ln2 \approx 0.693147$

(1)梯形法：

$b=2,a=1,b-a=1,n=2,\Delta x= \frac{b-a}{n}=\frac{1}{2}\\ \Delta x(\frac{1}{2}y_0+y_1+\frac{1}{2}y_2)\\ =\frac{1}{2}(\frac{1}{2}*1+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}*\frac{1}{2}) \approx 0.96$
(2)辛普森;
$\frac{\Delta x}{3}(y_0+4y_1+y_2)\\ =\frac{1}{6}(1+4*\frac{2}{3}+\frac{1}{2})\\ \approx 0.69444$
Ex: $检验：f(x)=1$
$\int_a^b1dx=b-a$.
$\Delta x(y_0/2+y1+...+y_{n-1}+yn/2)\\ =\Delta x (\frac{1}{2}+n-1+\frac{1}{2})\\ =(\Delta x)n=b-a$
$\Delta x = \frac{b-a}{n}$