Leetcode 1006：笨阶乘（超详细的解法！！！）

通常，正整数 n 的阶乘是所有小于或等于 n 的正整数的乘积。例如，factorial(10) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1。

相反，我们设计了一个笨阶乘 clumsy：在整数的递减序列中，我们以一个固定顺序的操作符序列来依次替换原有的乘法操作符：乘法(*)，除法(/)，加法(+)和减法(-)。

例如，clumsy(10) = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1。然而，这些运算仍然使用通常的算术运算顺序：我们在任何加、减步骤之前执行所有的乘法和除法步骤，并且按从左到右处理乘法和除法步骤。

另外，我们使用的除法是地板除法（floor division），所以 10 * 9 / 8 等于 11。这保证结果是一个整数。

实现上面定义的笨函数：给定一个整数 N，它返回 N 的笨阶乘。

示例 1：

输入：4
输出：7
解释：7 = 4 * 3 / 2 + 1

示例 2：

输入：10
输出：12
解释：12 = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1

提示：

1 <= N <= 10000
-2^31 <= answer <= 2^31 - 1 （答案保证符合 32 位整数。）

解题思路

这个问题非常简单，我首先想到的是通过栈。但是这里就有一个问题，我们知道我们需要先算乘除再算加减，所以我这里采用的策略是先将乘除算出来，然后算加减。

我们可以通过变量d记录我们当前需要什么样的计算（通过模4）。如果是乘法的话，我们首先将栈顶元素弹出，然后将遍历的数和栈顶元素想成，结果压入栈中。如果是除法，采用相同处理手段。如果是加减的话，我们直接压栈。

最后我们再遍历栈，进行加和减交替的运算。

class Solution:
    def clumsy(self, N: int) -> int:
        res, d = 0, 0
        stack = list()
        for i in range(N, 0, -1):
            if stack:
                if d % 4 == 0:
                    val = stack.pop()
                    stack.append(val*i)
                elif d % 4 == 1:
                    val = stack.pop()
                    stack.append(val//i)
                elif d % 4 == 2:
                    stack.append(i)
                elif d % 4 == 3:
                    stack.append(i)
                d += 1
            else:
                stack.append(i)
                
        if stack:
            res = stack[0]
            for i, val in enumerate(stack[1:]):
                if i & 1 == 0:
                    res += val
                else:
                    res -= val
        
        return res

一个精妙的数学解法，我们可以证明这样的一个式子

$i*(i-1)/(i-2)=i+1$ ，当i>=5的时候

证明如下

$i*(i-1)/(i-2)=i*(1 + 1/(i-2))=i+i/(i-2)=i+1+2/(i-2)$
$2/(i-2)<1$ ，所以 $2<i-2$ ，所以 $i>4$

所以我们的问题就变成了

$i*(i-1)/(i-2)+(i-3)-(i-4)*(i-5)/(i-6)+rest=(i+1)+(i-3)-(i-3)+rest=i+1+rest$

而rest只会是下面四种

5-(4*3/2)+1
6-(5*4/3)+2-1
7-(6*5/4)+3-2*1
8-(7*6/5)+4-3*2/1

class Solution:
    def clumsy(self, N: int) -> int:
        if N <= 2:
            return N
        if N <= 4:
            return N + 3
        
        if (N - 4) % 4 == 0:
            return N + 1
        elif (N - 4) % 4 <= 2:
            return N + 2
        else:
            return N - 1

使用python的话，我们有一个语法上的trick

class Solution:
    def clumsy(self, N: int) -> int:
        op = itertools.cycle("*/+-")
        return eval("".join(str(x) + next(op) for x in range(N, 0, -1))[:-1])

reference:

https://leetcode.com/problems/clumsy-factorial/discuss/252250/Python-Cheat

https://leetcode.com/problems/clumsy-factorial/discuss/252279/You-never-think-of-this-amazing-O(1)-solution!!!

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题，希望大家指出！！！

Leetcode 1006：笨阶乘（超详细的解法！！！）

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