所有特征值大于零的矩阵一定是正定阵吗？

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事实上，当我们谈论（半）正定阵，都要求矩阵是对称的。

尽管正定矩阵的定义并没有这一要求，如正定阵的定义： $M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z^TMz> 0，就称M为正定矩阵。$并且我们有一些判定矩阵正定的条件，如：

• 所有特征值大于零
• 各阶主子式大于零
• 等等

需要注意的是，这些条件都是针对对称阵的！

举个简单的例子： $A = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right]$
A 的特征值为1和2，各阶主子式也大于零。但是取 $x = [-1 \;-1]^T$， $\\x^TAx = [-1\;\;-1]\left[\begin{matrix}1 & 0 \\4 & 2\end{matrix} \right]\left[\begin{matrix}-1 \\-1 \end{matrix} \right]=-1<0,$说明 A 不是正定阵。另一个例子：
$B = \left[\begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & \;\;\;1 \end{matrix} \right]$B是正定的，但其特征值为复数。