线代复习——第三章矩阵的初等变化与线性方程组

&1矩阵的初等变化

重点中的重点,一定要熟练掌握矩阵的初等变化,后面的许多性质都是基于此来讲解的,起着承前启后的作用
矩阵初等变化的三种形式

1. 对换两行(列)(i , j行为例,记作 $r_i \leftrightarrow r_j$)
2. 以数k≠0乘以某一行(列)的所有元(例如r_i*k)
3. 把某一行(列)的所有元的k倍加到另一行的对应的元上( $r_i+r_j\times k$)
   矩阵之间的等价关系具有
4. 反身性: A~A
5. 对称性:诺A~B,则B~A
6. 传递性:诺A~B,B~C,则A~C

• 行阶梯矩阵(一定要熟练掌握)
  可以画出一条从第一行的某元左方的竖线开始,到最后一列的某元下发的竖线结束的阶梯线,他的左下方的元全为零,每段竖线的高度为一行,竖线的右方的第一个元为非零元,称之为首非零元,具有这样特点的矩阵称之为行阶梯形矩阵
• 行最简行矩阵:非零行的首元为1,并且所在的列全为零
  定理1 $A \sim^{r} B$的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P,使PA=B定理1 定理2: $A \sim^{c} B$的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=B
  $A \sim B$的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P,n阶可逆矩阵Q,使P
  AQ=B
  性质1:这A是一个m✖️n的矩阵,对A进行一次初等行变化就是在A的左边乘一个m阶的初等矩阵,对A实行一次列变换就是在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵
  性质2:方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P₁P₂P₃…P_n,使A=P₁P₂P₃…P_n
  推论:方阵A可逆的充分必要条件是A~^r E
  应用
  课本P63~65,例题

感想:线性方程组的第三种解法也在这里,有点蒙

矩阵的秩

矩阵的秩:如果矩阵A的第i+1行全为零,则第i行为最高阶非零姿势,i称之为矩阵的秩,表示为R(A)
矩阵秩的基本性质
$0\leqslant R(A_{m \times n}) \leqslant min|m,n|\\ R(A^T)=R(A)\\ 诺A \sim B,则 R(A)=R(B)\\ 诺P,Q可逆,则R(PAQ)=R(A)\\ max|R(A),R(B)| \leqslant R(A,B) \leqslant R(A)+R(B)\\ R(A+B) \leqslant R(A)+R(B)\\ R(AB) \leqslant min|R(A),R(B)|\\ 诺A_{m\times n}B_{n\times i}=O,则 R(A)+R(B)\leqslant n$

&3 线性方程组的解

定理1:判断n元线性方程Ax=b

1. R(A)<R(A , b)⇔无解
2. R(A)=R(A , b)=n⇔唯一解
   3.R(A)=R(A , b)<n⇔多解
   定理2:n元其次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是,R(A)<n
   定理3线性方程组Ax=b的充分必要条件是R(A)=R(A,b)
   定理4:矩阵方程AX=B的充分必要条件是R(A)=R(A,B)
   定理5:AB=C,则R©<=min|R(A),R(B)|m2]