计算机中的数学---矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

1.定义 初等行变换
对换两行
以数 $k!=0$乘某一行中的所有元
把某一行所有元的 $k$倍加到另一行对应的元上去

把定义中的行换成列，即的矩阵的初等列变换的定义
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换

2.性质 每种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换。
3.定义
A经有限次初等行变换变成矩阵B，称矩阵A与B行等价。
A经有限次初等列变换变成矩阵B，称矩阵A与B列等价。
A经有限次初等变换变成矩阵B，称矩阵A与B等价。

4.性质

A~A
若A~B，则B~A
若A~B,B~C，则A~C

5.定义
非零矩阵若满足
a.非零行在零行上面
b.非零行的首非零元所在列在上一行的首非零元【如存在的话】所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵。

进一步，若还满足
c.非零行的首非零元为1
d.首非零元所在的列的其他元均为0,，则称此矩阵为行最简形矩阵。

不难证明，对任何非零矩阵，总可经有限次初等行变换将其变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
定义 对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种更简单的矩阵，称为标准形。左上角是一个单位矩阵，其余元全为0。

6.定理 设A与B为m*n矩阵，那么
A行等价B 充分必要条件为 存在m阶可逆矩阵P，使PA=B
A列等价B 充分必要条件为 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ=B
A等价B 充分必要条件为 存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q使PAQ=B

7.性质
a.设A是一个m*n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵。
b.方阵A可逆的充分必要条件是 存在有限个初等矩阵P1 P2 …使A=P1P2…
c.方阵A可逆，则A行等价于E。

矩阵的秩

1.定义 在m*n矩阵A中，任取k行与k列，位于这些行列交叉处的 $K^2$个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

2.定理 设A等价B，则A与B中非零子式最高阶数相等
3.定义 设在矩阵A中有一不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)，零矩阵的秩规定为0。

4.定理若矩阵A等价于矩阵B，则R(A) = R(B)
推论 若存在可逆矩阵P，Q，使PAQ=B，则R(A)=R(B)
5.矩阵秩的性质：
$0 <= R(A_{m*n})<=min (m,n)$
$R(A^T) = R(A)$
$若A等价于B，则R(A)=R(B)$
$若P，Q可逆，则R(PAQ)=R(A)$
$max{R(A),R(B)}<=R(A,B)<=R(A)+R(B)$
$R(A+B)<=R(A)+R(B)$
$R(AB)<=min(R(A),R(B))$ 【利用Ax=b解的关系来证明的】
$若A_{m*n}B_{n*l}=O，则R(A)+R(B)<=n$

线性方程组的解

定理 n元线性方程组Ax=b
无解 充分必要条件 R(A)<R(A,b)
唯一解 充分必要条件 R(A)=R(A,b)=n
无限多解 充分必要条件 R(A)=R(A,b)<n