第二章，用矩阵解线性方程组，01-高斯消元法

玩转线性代数的笔记

行列式的局限

超定方程组与欠定方程组

有两种情况不能使用行列式来解

线性方程组的方程个数m多于未知数个数n，称为超定方程组
相反，方程个数m少于未知数个数n，称为欠定方程组，其中可任意取值的变量称为自由未知量，有通解，无穷多解，依赖于自由未知量的未知量称为基本未知量，一般设首非零元所对应变量为基本未知量，其它为自由未知量。
m=n，有唯一解

消元法与同解变换

消元法

用一个更易求解的线性方程组代替原线性方程组，例见原文
变换类型：

交换交换两个方程的位置
数乘将其中一个方程乘以一个不为零的常数
倍加将任一方程的倍数加到另一个方程上

同解变换

上述三种变换都是可逆的，所以原方程组的解都是新方程组的解，变换前后的方程组是同解的，因此三种变换都称为同解变换

等价

两个方程组解集相同，就称两个方程组等价

矩阵的定义

线性方程组消元变换过程只有系数和常数项参与运算，消元过程就是将左下方的数字化为零的过程，操作完成后加上未知数和相关符号就成为一个新的线性方程组。
将系数与常数取出，就成为矩阵

矩阵

定义：
由 $m \times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成的m行n列的二维数表$
$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix}$
称为m行n列矩阵，简称m*n矩阵，用大写字母 $A,B\cdots$ 表示，记作
$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$
矩阵A也可以写作 $a_{ij})$ ，或 $a_{ij})_{m×n}$ 或 $A_{m×n}$

元素、行标和列标

$a_{ij}(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)$ 称为矩阵A的元素或元， $i 和 j$ 分别称为行标和列标。

行/列矩阵（行/列向量）

只有一行/列的矩阵称为行/列矩阵或行/列向量，记为
$A=\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots\\ a_{n} \end{pmatrix}$

方阵

行数和列数都是n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
如
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ 是一个三阶方阵。

零矩阵和零向量

元素都为0的矩阵称为零矩阵；元素都为0的向量称为0向量

线性方程组的系数矩阵和增广矩阵

对线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n} x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n} x_n=b_2 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn} x_n=b_n \end{cases}$
记
$A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$
为系数矩阵， $X=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}$ 为未知数矩阵（向量）， $b=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots\\ b_{n} \end{pmatrix}$ 为方程组的常数项矩阵（向量）。记 $B=(A|b)=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} &b_m \end{pmatrix}$ 为增广矩阵。

矩阵解方程组

同解变换即是对增广矩阵进行三种行变换（例见原文），而不用写出未知数

初等行变换与高斯消元法

初等行变换

以下三种矩阵变换称为初等行变换：

（对换）把两行对换，如对换第i行和第j列，记作 $r_i \leftrightarrow r_j$ ;
（数乘）以非零实数乘以某行，如第i行乘以k，记作 $r_i×k$ ;
（倍加）把某一行的k倍加到另一行上，如将第i行的k倍加到第j行上，记作 $r_j+kr_i$ .

行阶梯形矩阵

满足以下条件：

零行（元素全为零的行）位于矩阵的下方，if any.
各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大面严格增大。

高斯消元法

以上利用矩阵初等行变换求解线性方程组的方法叫做高斯消元法