先说一个故事
说秦末，刘邦的将军韩信带领1500名士兵经历了一场战斗，战死四百余人。韩信为了清点人数让士兵站成三人一排，多出来两人；站成五人一排，多出来四人；站成七人一排，多出来六人。韩信立刻就知道了剩余人数为1049人。
这就是著名的韩信点兵的故事，化成数学模型就是：
韩信是为了计算的是士兵的人数，那么我们设这个人数为x。三人成排，五人成排，七人成排，即x mod 3, x mod 5, x mod 7。也就是说我们可以列出一组方程： x mod 3 = 2 x mod 5 = 4 x mod 7 = 6
将这个方程组推广到一般形式：给定了n组除数m[i]和余数r[i]，通过这n组(m[i],r[i])求解一个x，使得x mod m[i] = r[i]
这就是模线性方程组
一开始就直接求解多个方程不是太容易，我们从n=2开始递推：
已知：
x mod m[1] = r[1] x mod m[2] = r[2]
根据这两个式子，我们存在两个整数k[1],k[2]：
x = m[1] * k[1] + r[1] x = m[2] * k[2] + r[2]
由于两个值相等，因此我们有：
m[1] * k[1] + r[1] = m[2] * k[2] + r[2] => m[1] * k[1] - m[2] * k[2] = r[2] - r[1]
由于m[1],m[2],r[1],r[2]都是常数，若令A=m[1],B=m[2],C=r[2]-r[1],x=k[1],y=k[2]，则上式变为：Ax + By = C。
这就转换成扩展欧几里得算法。
1.可以先通过gcd(m[1], m[2])能否整除r[2]-r[1]来判定是否存在解。
2.假设存在解，则我们通过扩展欧几里德求解出k[1],k[2]。
3.再把k[1]代入x = m[1] * k[1] + r[1]，就可以求解出x。
4.同时我们将这个x作为特解，可以扩展出一个解系： X = x + k*lcm(m[1], m[2]) k为整数
lcm(a,b)表示a和b的最小公倍数。其求解公式为lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。
将其改变形式为： X mod lcm(m[1], m[2]) = x。
令M = lcm(m[1], m[2]), R = x，则有新的模方程X mod M = R。
此时，可以发现我们将x mod m[1] = r[1]，x mod m[2] = r[2]合并为了一个式子X mod lcm(m[1], m[2]) = x。满足后者的X一定满足前两个式子。
每两个式子都可以通过该方法化简为一个式子。那么我们只要重复进行这个操作，就可以将n个方程组化简为一个方程，并且求出一个最后的解了。
最后代码就是
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 1010
#define ll long long int
using namespace std;
ll m[N], r[N];
int n;
ll x, y;
ll gcd(ll a, ll b){
if (a%b==0)
return b;
return gcd(b, a%b);
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){
x=1;
y=0;
return a;
}
int u=exgcd(b,a%b,x,y);
int temp=x;
x=y;
y=temp-(a/b)*y;
return u;
}
ll solve(){
ll M= m[0], R = r[0];
ll x,y;
for (int i = 1; i < n; i++){
ll d = gcd(M, m[i]);
ll c = r[i] - R;
if (c%d != 0){
return -1;
}
exgcd(M/d, m[i]/d,x,y); // 扩展欧几里德计算
x= (c/d*x)%(m[i]/d); // 扩展解系
R = R+x*M;
M= M/d*m[i]; // 求解lcm(M, m[i])
R%= M; // 求解合并后的新R，同时让R最小
}
if (R < 0){
R += M;
}
return R;
}
int main()
{
int i, j, k;
scanf("%d", &n);
for (i = 0; i < n; i++){
scanf("%d %d", &m[i], &r[i]);
}
int end=solve();
printf("%d\n",end);
return 0;
}