DP入门——数字三角形问题

数字三角形——动态规划 （dp问题）

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经典问题： 数字三角形
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3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99

很明显，这道题的想法就是从最上面开始找一条路（如果采用暴力的方法会超时）

那么我们该怎么想这个问题呢。
首先 我们用 length(i,j)来代表 第i行第j列的元素（代表这个点的数字）比如 length(1,1）为 7
然后用 Maxsum(i,j)代表 从这个点出发，到底边的最大路径

那么我们可以知道
Maxsum(i,j)=max(Maxsum(i+1,j),Maxsum(i+1,j+1))+D(i,j);
这就是状态转移方程了，从一个点转移到另一个点。
从 Maxsum(i,j)这个问题 转移到 求 Maxsum(i+1,j) Maxsum(i+1,j+1）的子问题…

那么我们很容易写出递归程序：

int a[10][10]; //用来存储每个点的数
int dp(int x,int y,int n)
{
    if(x==n) //x,y从最上端开始搜，当x==n也就是搜索到最后一行的时候返回值
        return a[x][y];
    else return max(dp(x+1,y,n),dp(x+1,y+1,n))+a[x][y]; //否则就分成子问题，进一步递归。
    return 0;
}

但是这种做法时间复杂度也很高，为什么呢，因为他重复计算了一些点的数，而其实没有必要重复算，我们只需要把之前计算过的值保存下来，当再次被调用的时候直接返回值就可以了，而不需要进一步递归求值（这大大降低了时间复杂度，但是提高了空间复杂度——我们需要开一个另外的数组来储存每个点的dp值）
代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int a[10][10];
int sum[10][10]={-1};
int dp(int x,int y,int n)
{
    if(sum[x][y]!=-1)
        return sum[x][y];
    if(x==n)
        sum[x][y]=a[x][y];
    else
        sum[x][y]=max(dp(x+1,y,n),dp(x+1,y+1,n))+a[x][y];
    return sum[x][y];
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<10;i++)
        for(int j=0;j<10;j++)
            sum[i][j]=-1;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<i+1;j++)
            cin>>a[i][j];
    dp(0,0,n);
    cout<<sum[0][0]<<endl;
    return 0;
}