[动态规划] 洛谷P1216 数字三角形 （DP入门）

题目

思路与代码

一.先将问题往适合DP的方向抽象。

1.将当前位置(i,j)看成一个状态，定义状态(i,j)的指标函数 d(i,j)为从位置(i,j)出发能得到的最大和（包括(i,j)）。
2.原问题的解：d(1,1)。
3.状态之间是如何转换的，即状态转移方程：

$$d(i,j) = G(i,j) + max(d(i+1,j) ,d(i+1,j+1))$$
4.本问题具有最优子结构的性质， 具体说明。

二.计算状态转移方程的方式

1.直接递归计算：

int solve(int i, int j) {
    return G[i][j] + (i == n ? 0 : max(solve(i + 1, j), solve(i + 1, j + 1)));
} 

优点：直接反映状态转移方程，思路明显。
缺点：进行了重复计算（重叠子问题），时间效率低。
复杂度：$O(2^n)$

（在此理解一下，重叠子问题的概念）


2.递推：

    int i, j;
    // 先处理最后一层结点
    for (j = 1; j <= n; j++) d[n][j] = G[n][j];

    // 依次逆着枚举出每个结点的决策
    for (i = n - 1; i >= 1; i--)
        for (j = 1; j <= i; j++)
            d[i][j] = G[i][j] + max(d[i + 1][j], d[i + 1][j + 1]);

内容：逆着枚举出所有节点的决策。
在多数情况下，递推法的时间复杂度是：状态总数 x 每个状态决策个数 x 决策时间。
优点：快一些
缺点：需要自己找到结点的决策顺序。
复杂度：$O(n^2)$


3.记忆化搜索

int solve(int i, int j) {
    if (d[i][j] >= 0) return d[i][j];
    return d[i][j] = G[i][j] + (i == n ? 0 : max(solve(i + 1, j), solve(i + 1, j + 1)));
}

内容：递归的时候，顺便记忆一下。。。
优点：快一些，不需要自己找到结点的决策顺序
缺点：需要调用系统栈，所以比递推慢
复杂度：$O(n^2)$

码农小技巧

对于memset进行批量赋值时，只能用-1和0，1、-2、…会乱码。