DP模型数字三角形之数字三角形

题目描述

给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。

        7
      3   8
    8   1   0
  2   7   4   4
4   5   2   6   5

输入格式

第一行包含整数n，表示数字三角形的层数。接下来n行，每行包含若干整数，其中第 i 行表示数字三角形第 i 层包含的整数。

输出格式

输出一个整数，表示最大的路径数字和。
数据范围

1≤n≤500,
−10000≤三角形中的整数≤10000

输入样例：

5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例：

30

思路

1.可以通过输入案例知道可以把数据直接看成一
个直角三角形，再结合题意很容易设出状态方程
“dp[i][j]”表示从（1,1）到第i行第j列最大路
径之和；

2.一个当前的数只能由上面或者左上边过来，这
样动态转换方程式大致就出来了
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+arr[i][j]；

3.再考虑一些边界问题，最左边的只能从上面来，
最右边的只能由左上角来。（其实这一步也可以
可以不考虑，拿样例这个输入举个例子，当我们
求dp[2][2]时，我们要知道Math.max(dp[1][1],dp[1][2])
dp[1][2]为肯定不大于dp[1][1];)

4. 从最后一行找最大值，由状态定义可知dp[i][j]
只是表示第i行第j列的最大值，但在第i行里并
不一定是最大值；

代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner input =new Scanner(System.in);
        int N=input.nextInt();

        int [][]dp=new int[N+1][N+1];
        int [][]map=new int[N+1][N+1];
        for(int i=1;i<=N;i++){
    
    
            for(int j=1;j<=i;j++){
    
    
                map[i][j]=input.nextInt();
            }
        }
           for(int i=0;i<=N;i++){
    
    
            for(int j=0;j<=N;j++){
    
    
     
                dp[i][j]=Integer.MIN_VALUE;
            }
        }
        dp[1][1]=map[1][1];
        for(int i=2;i<=N;i++){
    
    
            for(int j=1;j<=i;j++){
    
    
                dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+map[i][j];

            }
        }
        int max=Integer.MIN_VALUE;
        for(int i=1;i<=N;i++){
    
    
            max=Math.max(max,dp[N][i]);
        }
        System.out.println(max);

    }
}