数字三角形问题（dp）

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数字三角形问题
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Problem Description
给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

对于给定的由n行数字组成的数字三角形，计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。
Input
输入数据的第1行是数字三角形的行数n，1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0…99之间。
Output
输出数据只有一个整数，表示计算出的最大值。
Sample Input

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output
30

**
参考一：有时间复杂度
参考二：层层优化

解法一：普通递归（OJ超时）

**

用二维数组存放数字三角形。 
D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1 开始算) 
MaxSum(r, j) : 从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。 
问题：求 MaxSum(1,1) 
典型的递归问题。 
D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int Max = 111;
int dp[Max][Max];
int num;

int maxsum(int i, int j)
{
    if(i == num)
        return dp[i][j];
    int x = maxsum(i + 1, j);
    int y = maxsum(i + 1, j + 1);
    return max(x, y) + dp[i][j];
}

int main()
{
    int i, j;

    cin >> num;

    for(i = 1; i <= num; i ++)
        for(j = 1; j <= i; j ++)
            cin>>dp[i][j];
    cout<<maxsum(1, 1)<<endl;
    return 0;
}

解法二：动归

注意：该题从下到上计算，num - 1开始，因为有i+1，j+1,如果从num开始，越界了

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int Max = 101;

int dp[Max][Max];
int num;


int maxsum(int num)
{
    for(int i = num - 1; i >=1 ; i--)///这里从下到上计算，num - 1开始，因为有i+1，j+1,如果从num开始，越界了
    {
        for(int j = 1; j <= i; j++)
        {
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + dp[i][j];
        }
    }
    return dp[1][1];
}
int main()
{
    cin>>num;
    for(int i = 1; i <=  num; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            cin>>dp[i][j];
    cout<<maxsum(num)<<endl;
    return 0;
}