最近，研究了两天的Burnside定理和Polya之间的联系，百思不得其解，然后直到遇到下面的问题：
对颜色限制的染色
例：对正五边形的三个顶点着红色，对其余的两个顶点着蓝色，问有多少种非等价的着色？
其中置换的方法有旋转 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144^{\circ}, 216^{\circ}, 288^{\circ}\), 穿过一个点点做对称轴进行翻转。
Burnside引理的解法
| 置换方式P | 循环因子分解(Polya定理使用) | 不变的着色数 |
|---|---|---|
| 旋转\(0^{\circ}\) | ||
| 旋转\(72^{\circ}\) | ||
| 旋转\(144^{\circ}\) | ||
| 旋转\(216^{\circ}\) | ||
| 旋转\(288^{\circ}\) | ||
| 过1号点翻转 | ||
| 过2号点翻转 | ||
| 过3号点翻转 | ||
| 过4号点翻转 | ||
| 过5号点翻转 |
首先表示出所有的情况：
我们按照Burnside的定义，填写第三列的值：
旋转\(0^{\circ}\):
\[ p_1 = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{pmatrix} = (f_1)(f_2)(f_3)(f_4)(f_5)(f_6)(f_7)(f_8)(f_9)(f_{10}) \]
发现有16个不动点。
顺时针旋转\(72^{\circ}\) :
\[ p_2 = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5& 6 & 7 & 1 & 8 & 9 & 2 & 10 & 3 & 4 \end{pmatrix} = (f_5 f_8 f_{10} f_4 f_1)(f_6 f_9 f_3 f_7 f_2) \]
发现有0个不动点。
顺时针旋转\(144^{\circ}\):
\[ p_3 = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 8& 9 & 2 & 5 & 10 & 3 & 6 & 4 & 7 & 1 \end{pmatrix} = (f_8 f_4 f_{5} f_{10} f_1)(f_9 f_7 f_6 f_3 f_2) \]
发现有0个不动点。
同理我们算出旋转\(216^{\circ}, 288^{\circ}\) 的不动点的个数都是0。
穿过1号点(最上面的点，顺时针依次标号为1, 2, 3, 4, 5)的对称轴：
\[ p_6 = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5& 2 & 9 & 8 & 1 & 7 & 6 & 4 & 3 & 10 \end{pmatrix} = (f_5 f_1)(f_2)(f_3 f_9)(f_8 f_4)(f_7 f_6)(f_{10}) \]
有两个不动点。
同理，依次通过2, 3, 4, 5号点的对称轴，进行翻转的不动点都为2个。
于是我们可以填写下面的表：
| 置换方式 | 循环因子分解(Polya定理使用) | 不变的着色数 |
|---|---|---|
| 旋转\(0^{\circ}\) | 10 | |
| 旋转\(72^{\circ}\) | 0 | |
| 旋转\(144^{\circ}\) | 0 | |
| 旋转\(216^{\circ}\) | 0 | |
| 旋转\(288^{\circ}\) | 0 | |
| 过1号点翻转 | 2 | |
| 过2号点翻转 | 2 | |
| 过3号点翻转 | 2 | |
| 过4号点翻转 | 2 | |
| 过5号点翻转 | 2 |
由Burnside引理，我们可以计算出不同等价类的染色数目为：
\[ L = \frac{10+0*4+2*5}{10} = 2 \]
实际上，我们有一个很直观的理解：
两个蓝色要么连在一起，要么两个蓝色中间间隔一个红色，总共有两种本质不同染色方案数。
Polya定理解法
Polya定理的基本形式：用m种颜色\(C ={c_1, c_2, \dots, c_m} 涂染个对象涂染n个对象S = {1, 2, \dots, n}\), 在S的置换群Q作用下， 不等价的方案数为：
\[ L = \frac{1}{\left | Q \right |}\sum_{q\in Q} m^{\lambda(q)} \]
我们先填写第二列的表：
仅仅对节点进行变换，不考虑颜色。
旋转\(0^{\circ}\):
\[ p_1 = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1& 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} = (1)(2)(3)(4)(5) \]
旋转\(72^{\circ}\):
\[ p_1 = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2& 3 & 4 & 5 & 1 \end{pmatrix} = (2\quad 3 \quad4\quad 5\quad 1) = (1\quad 2 \quad3\quad 4\quad 5) \]
旋转\(144^{\circ}\):
\[ p_1 = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3& 4 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix} = (3\quad 5 \quad2\quad 4\quad 1) = (1\quad 3 \quad5\quad 2\quad 4) \]
同理我们可以算出旋转\(216^{\circ}, 288^{\circ}\)的循环节。
经过1号节点的对称轴：
\[ p_1 = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1& 5 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} = (1)(2\quad 5)(3\quad 4) \]
同理可以计算经过其他的节点进行翻转的循环节。
然后我们就可以填写下面的表了：
| 置换方式P | 循环因子分解(Polya定理使用) | 循环节的类型\((z_1, z_2, z_3, z_4, z_5)\) |
|---|---|---|
| 旋转\(0^{\circ}\) | (1) (2) (3) (4) (5) | (5, 0, 0, 0, 0) |
| 旋转\(72^{\circ}\) | (1 2 3 4 5) | (0, 0, 0, 0, 1) |
| 旋转\(144^{\circ}\) | (1 3 5 2 4) | (0, 0, 0, 0, 1) |
| 旋转\(216^{\circ}\) | (1 4 2 5 3) | (0, 0, 0, 0, 1) |
| 旋转\(288^{\circ}\) | (1 5 4 3 2) | (0, 0, 0, 0, 1) |
| 过1号点翻转 | (1) (2 5) (3 4) | (1, 2, 0, 0, 0) |
| 过2号点翻转 | (1 3) (2) (4 5) | (1, 2, 0, 0, 0) |
| 过3号点翻转 | (1 5) (3) (2 4) | (1, 2, 0, 0, 0) |
| 过4号点翻转 | (1 2) (3 5) (4) | (1, 2, 0, 0, 0) |
| 过5号点翻转 | (1 4) (2 3) (5) | (1, 2, 0, 0, 0) |
1个(5, 0, 0, 0, 0), 4个(0, 0, 0, 0, 1), 5个(1, 2, 0, 0, 0)类型的
然后我们代入母函数：
\[ P_Q (Z_1, Z_2, Z_3, Z_4, Z_5) = \frac{1}{\left |Q \right |}*(Z_1^5+4*Z_5+5*Z_1Z_2^2) \\ P_Q (r+b, r^2+b^2, r^3+b^3, r^4+b^4, r^5+g^5) = \frac{1}{10}((r+b)^5+4(r^5+b^5)+5(r+b)(r^2+b^2)^2) \\ =\frac{1}{10}(10r^5+10r^4b+20r^3b^2+20r^2b^3+10rb^4+10b^5) \]
我们单独观察\(r^3b^2\)的系数，发现是\(\frac{20}{10} = 2\)，与我们的Burnside引理的计算结果一致！！