Burnside引理的简要证明

前言

博主因为不会群论被这个引理的证明折磨了挺久，某天听某大佬悉心讲解了一发，感叹到原来这么SB，本着给群论萌新分享的心情来水一水万年没更的博客（

Burnside引理

$N(G,C)=\frac{1}{|G|}\sum_{f \in G} c(f)$

证明

考虑移项，要证：
$|G|N(G,C)=\sum_{f \in G}c(f)$

先声明几个符号或名词是什么意思：

• 状态：一种可能的情况（比如说染色状态）被称为状态， $a,b$两种状态一样，则记为 $a=b$。
• 等价类：通过置换群中的某个置换的作用，能变为完全一样的状态，这些状态就互相等价，被统称为 $1$个等价类，状态的个数为这个等价类的大小。
• $f*a$： $a$是一个状态， $f$是一个置换， $f*a$表示 $f$置换作用于 $a$状态得到的新的状态，如果两种状态 $a,b$等价，那么易知 $\exist f \in G,s.t. f*a=b$。
• $f_1*f_2$： $f_1,f_2$都为置换， $f_1*f_2$表示先作用 $f_2$置换，再作用 $f_1$置换得到的置换。

证明过程（有些比较显然的地方博主就难得写证明了QAQ）：

• 考虑将置换群 $G$中的每个元素 $f$作用于所有等价类（共有 $N(G,C)$个等价类）中的各一个元素上，那么一共可以得到 $|G|*N(G,C)$个元素。
• 考虑大小为 $|k|$的等价类 $k$，其中一个状态为 $k_1$，再考虑等价类中任意两个不同的状态 $k_2,k_3$（可以等于 $k_1$），设其到 $k_2$的某个置换为 $f_2$（即满足 $f_2*k_1=k_2$，根据等价类的定义，这样的 $f_2$一定存在至少一个），到 $k_3$的置换为 $f_3$。
• 设令 $k_1$ 不动的置换集合中的一个置换为 $f_1$，那么有 $k_2=f_2*k_1=f_2*(f_1*k_1)=(f_2*f_1)*k_1$，同理 $k_3=f_3*k_1=(f_3*f_1)*k_1$。
• 显然 $f_2 =\not f_3$，根据群的性质，易知 $f_2*f_1 =\not f_3*f_1$，则 $k_1$通过 $G$中置换到等价类 $k$中的每个元素（包括自己）的方案数都是相同的。
• 那么 $k$中所有状态在左边被计算共 $|G|$次，在右边，使 $k$中每个状态不动的置换也是 $\frac{|G|}{|k|}$个，总共被计算 $\frac{|G|}{|k|}*|k|=|G|$次，于是左右式子相等。