前言

本文对于群论的讨论范围仅限于ACM和OI（算法竞赛与信息学竞赛），并且内容比较基础，以证明为主，零基础读懂本文需要积极思考。

本文对于四大定理的讨论以基本概念理解为主。由于本部分变化略大，具体实现待我题量积累一下之后再给出。

1.群基础概念

给定一个集合 $G = \{a,b,c,...\}$ 和集合上的二元运算 $*$ ,如果满足以下条件：

（1）封闭性。对于任意的 $a,b\in G,a*b \in G$ 成立。

（2）结合律。对于任意 $a,b,c \in G,a*(b*c) = (a*b)*c$ 成立。

（3）存在单位元。G中存在一个元素e，使得对于G中任意元素a，都有 $a*e = e*a = a$ ，元素e为单位元素。

（4）存在逆元。对于G中任意元素a，恒有一个 $b\in G$ ，使得 $a*b= b*a = a$ ，则元素b为元素a的逆元，记作 $a^{-1}$ .

则称集合G是运算*下的一个群，记为（G，*）若G是一个有限集，则称（G，*）为有限群，其中有限群元素个数成为有限群的阶。记作|G|；若G是无限集，则称（G，*）是无限群。

如果群G中任意两个元素a，b满足交换律，则该群为Abel群。

设G在*下是一个群，若若H是G的非空子集且H在*运算下也是一个群，则称（H，*）是（G，*）的子群。

置换群非常重要，但是我们在学置换群之前，先来看看什么是置换。

n个元素1,2,3...n的一个置换为

$\binom{1\ 2\ 3\ ...n}{a_{1}\ a_{2} \ a_{3} ...a_{n}}$

表示元素1被1到n的某个数a1取代，2被1到n的某个除a1的数a2取代...n被1到n中除a1,a2,a3,...,an-1 的数an取代。

因此可以看出不同的置换共有n！个。

置换其实就表示元素位置的变化。接下来这个四元置换就表示，序列 $1,2,3,4$ 经过这个置换之后变成了 $3,2,4,1$

$\binom{1\ 2\ 3\ 4\ }{3\ 2 \ 4 \ 1}$

但是我们对 $3,2,4,1$ 再进行置换以后就得到了 $4,2,1,3$ .所以置换金金表示元素的变化，对

也就有了置换的乘法：

$P_{1} = \binom{1\ 2\ 3\ 4\ }{a_{1}\ a_{2} \ a_{3} \ a_{4}} \ P_{2} = \binom{a_{1}\ a_{2} \ a_{3} \ a_{4}}{b_{1}\ b_{2} \ b_{3} \ b_{4}}$

则 $P_{1}*P_{2} = \binom{1\ 2\ 3\ 4\ }{b_{1}\ b_{2} \ b_{3} \ b_{4}}$

也能看出群置换并不支持交换律。

啊去跑步啦~~~~~~回更