\(burnside\)引理
\[N(G,C)=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}|C(f)| \]
对于一个置换\(f\)，如果一个染色方案\(s\)经过置换\(f\)之后不变，则称\(s\)为\(f\)的不动点
如果置换\(f\)的不动点数目为\(C(f)\)，则等价类的数目为所有\(C(f)\)的平均值
\(p\acute olya\)定理
\[|C(f)|=m^{k(f)} \]
\(p\acute olya\)定理提供了计算每个置换的不动点数目的方法
每个置换都可以分解成若干个循环，具体方法是将每个元素向置换中对应的元素连一条有向边，直到回到自身，这样形成一个循环。对于剩余元素进行同样的操作，最后可以形成若干个循环。
设置换\(f\)有\(k(f)\)个循环，则如果状态\(s\)是置换\(f\)的不动点，则置换\(f\)的每个循环中的元素颜色需要一致，任意两个循环之间颜色选择无影响。所以如果可选颜色一共有\(m\)种，则置换\(f\)的不动点数目为\(m^{k(f)}\)
综合\(burnside\)引理和\(p\acute olya\)定理，得到等价类的数目（本质不同的方案数）为：
\[N(G,C)=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}m^{k(f)} \]