Burnside 引理 / Pólya 定理

• \(A\) 和 \(B\) 为有限集合

• \(X=B^A\) 表示所有 \(A\) 到 \(B\) 的映射

• \(G\) 是 \(A\) 上的置换群，\(X/G\) 表示 \(G\) 作用在 \(X\) 上的等价类的集合

• \(X^g=\{x|x\in X,g(x)=x\}\)

Burnside 引理

\[ |X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \]

• \(c(g)\) 表示置换 \(g\) 能拆分成的不相交的循环置换的数量

Pólya 定理

\[ |X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|B|^{c(g)} \]