先来简单介绍一下置换运算：
置换就是把n个元素中某些元素换个顺序，形成排列。置换之间可以定义乘法运算，置换的乘法仍然是置换。比如a，b是两个置换，那么ab的含义就为先进行b置换，在进行a置换，一般资料上的运算顺序都是从右向左。
我们定义一个新的概念叫做置换群，它的所有成员都是置换，可以类比于集合。
置换群有一些性质，可以适当了解一下，如果不了解也没有关系。
（1）封闭性，对于置换群中的置换进行乘法运算，所得的结果仍然在置换群中。
（2）置换的乘法满足结合律，但并不满足交换律。
（3）单位元,存在一个置换，与其他任意置换做乘法运算不改变原来的置换。
（4）逆元，对于任意置换来说，存在一个置换，它们做乘法等于单位元。
读到这里，可能对于置换的运算还是比较陌生，那我们接下来看一个置换运算的例子:
从右向左运算，可以简单的得到结果。
为了处理方便，我们可以把置换分解成循环的乘积，比如 =(1 3)(2 5)(4),它的循环节是3。后面这个东西是什么意思呢，它代表我们把1换成3，3换成1；2换成5；5换成2。再一般些，比如（a b c）,就代表a->b,b->c,c->a。不难发现，所有的置换都可以分解成若干个这样的循环节。
下面开始介绍置换的运用：
等价计数类问题：有这样一个经典问题，给一个2*2的方格中涂上黑白两色，规定如果一种涂色方案经过旋转得到另一种涂色方案，那么称这两种涂色方案是等价的，问一共有多少种不同的涂色方案？
原本应该是上面的16种方案，但是去掉等价的方案以后，得到的答案应该是6种。
如何解决这个问题。我们定义一个置换群G={逆时针旋转0°，逆时针旋转90°，逆时针旋转180°，逆时针旋转270°}。如果对于一个置换f来说，某一个着色方案s经过置换f以后不变，则称s是f的不动点。把f的不动点数目记作C（f），那么所求答案是所有C（f）的平均值，此结论称为Burnside定理，具体证明略。
例如在本题中，逆时针旋转0°有16个不动点（任何一个方案不旋转，都不会变），逆时针旋转90°和270°都只有C1,C2两个不动点，逆时针旋转180°有C1,C2,C11,C12这4个不动点，所以等价方案有（16+2+2+4）/4=6。
具体如何求C（f）呢，我们先把2*2的方格按照从上到下，从左到右的顺序编号成1，2，3，4。
比如对于逆时针旋转180°来说，就是对角线上的编号互换了，写成循环乘积形式就是(1 3)(2 4)，所以这种置换必须是对角线的小方格颜色相同才会有不动点，着色方案就是2*2=4种。
一般的，如果置换f分解成m(f)个循环的乘积，那么每个循环节内格子的颜色必须相同，假设涂k种颜色，则C(f)=k^(m(f))，带入Burnside引理的表达式后得出Polya定理，等价类的个数等于所有置换f的k^(m(f))的平均数。