reference：
https://blog.csdn.net/xym_CSDN/article/details/53456447
https://blog.csdn.net/thchuan2001/article/details/65641566
https://blog.csdn.net/ta201314/article/details/51050846
https://www.cnblogs.com/pks-t/p/9508866.html
本文主要介绍了一些简单的群论知识，主要涉及到和 Burnside 引理有关的一些概念。
本文的目的仅是引入和简单证明 Burnside 引理和 Pólya 定理，因此关于群论的部分概念的介绍会比较简略和不太规范，因为大部分是我到处在网上找资料学的，如果不当之处，欢迎指出。
1 群
1.1 群的定义
若集合 \(S\neq\varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\) 满足以下性质：
封闭性： \(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\)
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结合律： \(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)
单位元： \(\exists e\in S,\forall a\in S,e\cdot a=a\cdot e=a\)
逆元： \(\forall a\in S,\exists b\in S,a\cdot b=b\cdot a=e\) ，称 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)
则称 \((S,\cdot)\) 为一个群（注意到 \(S\) 一定是非空的）。
一些其他定义：
- 阿贝尔群：即交换群，满足交换律的群。
- 半群：由集合 \(S\neq \varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\)，满足封闭性和结合律。
- 有限群：元素个数有限的群称为有限群，而有限群的元素个数称作有限群的阶。
- 环：由集合 \(S\neq \varnothing\) 和 \(S\) 上的两个运算 \(+,\cdot\) 构成的代数结构 \((S,+,\cdot)\)，满足 \((S,+)\) 是阿贝尔群，\((S\setminus \{0\},\cdot)\) 是半群（其中 \(0\) 为 \((S,+)\) 的单位元）。
- 域：由集合 \(S\neq \varnothing\) 和 \(S\) 上的两个运算 \(+,\cdot\) 构成的代数结构 \((S,+,\cdot)\)，满足 \((S,+),(S\setminus \{0\},\cdot)\) 是阿贝尔群（其中 \(0\) 为 \((S,+)\) 的单位元）。
1.2 群的简单性质
关于群，有一些比较简单的想法：
一个群中的单位元唯一。
证明：假设有两个单位元 \(e_1,e_2\)，有 \(e_1=e_1e_2=e_2\)。
如果 \(a\cdot x=e\)，我们称 \(a\) 是 \(x\) 的左逆元；如果 \(x\cdot b=e\)，我们称 \(b\) 是 \(x\) 的右逆元。
可以证明，在一个群中，左逆元和右逆元是一样的。证明：不妨设 \(c\cdot a=e\)，那么 \(x\cdot a=(c\cdot a)\cdot (x\cdot a)=c\cdot (a\cdot x)\cdot a=c\cdot a=e\)，即 \(a\) 也是 \(x\) 的右逆元。
一个群中 \(x\) 的逆元唯一。
证明：如果有 \(x\) 两个逆元 \(a,b\)，那么我们有 \(a=a\cdot x\cdot b=b\)。
群中有消去律存在。即 \(\forall a,b,x\in G, ax=bx \Leftrightarrow a=b\)。
证明：两边同乘逆元。
在下面的讨论中，我们默认是在有限群上讨论。
1.3 子群及其衍生
子群：对于一个群 \(G(S,\cdot)\)，若 \(T\subseteq S\)，且 \(H(T,\cdot)\) 也是一个群，那么称 \((T,\cdot)\) 是 \((S,\cdot)\) 的一个子群，记为 \(H\leq S\)。
生成子群：对于 \(S\) 的一个非空子集 \(T\)，我们求出 \(G\) 的所有使 \(T \subseteq T'\) 的子群 \((T',\cdot)\) 的交 \(G'\)，\(G'\) 叫做 \(T\) 的生成子群，同时 \(T\) 也是 \(G'\) 的生成集合，记为 \(\langle T\rangle\)。当 \(T=\{x\}\)，我们也写作 \(\langle x\rangle\)。
循环群：可由一个元素生成的群。
陪集：对于群 \(G\) 的一个子群 \(H\)。
- 如果 \(H \leq G\)，对于 \(a\in G\)，定义 \(H\) 的一个左陪集为 \(_aH=\{ah\arrowvert h\in H\}\)。
- 如果 \(H\leq G\)，对于 \(a\in G\)，定义 \(H\) 的一个右陪集为 \(H_a=\{ha\arrowvert h\in H\}\)。
注意陪集不是一个群，因为陪集显然可能没有单位元。
1.3.1 陪集的性质
陪集有一些重要的性质，我们下面只讨论右陪集的情况（左陪集同理）：
\(\forall a\in G,|H|=|H_a|\)。
证明：如果 \(h_1\neq h_2\in H\)，那么 \(h_1a\neq h_2a\)。对于不同的 \(h\)，\(ha\) 互不相同，因此 \(|H|=|H_a|\)。
\(\forall a\in G,a\in H_a\)。
证明：因为 \(H\) 是群，所以 \(e\in H\)，所以 \(ea\in H_a\) 即 \(a\in H_a\)。
\(H_a=H \Leftrightarrow a\in H\)
证明：从左推到右，因为 \(a\in H_a\)。从右推到左，由群的封闭性 \(H_a \subseteq H\)，而 \(|H|=|H_a|\)，所以 \(H_a=H\)。
\(H_a=H_b \Leftrightarrow ab^{-1}\in H\)。
注意这个性质的右边也可以写成 \(a\in H_b\)，\(b\in H_a\)，\(a^{-1}b\in H\)。证明：从左推到右，\(a\in H_a\Rightarrow a\in H_b\Rightarrow ab^{-1}\in H\)。从右推到左，\(H_{ba^{-1}}=H\)，故 \(H_a=H_b\)。
\(H_a\cap H_b\neq \varnothing \Rightarrow H_a=H_b\)。
这句话的意思是 \(H\) 的任意两个陪集要么相等，要么没有交集。证明：考虑 \(c\in H_a\cap H_b\)，那么 \(\exist h_1,h_2\in H,h_1a=h_2b=c\)，那么 \(ab^{-1}=h_1^{-1}h_2\in H\)，故 \(H_a=H_b\)。
1.3.2 拉格朗日定理
若 \(H \leq G\)，那么 \(|H|\) 整除 \(|G|\)。更准确地
\[|G|=|H|\cdot [G:H]\]
其中 \([G:H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 不同的陪集数。
证明：根据陪集的性质，\(H\) 的所有陪集大小相等且互不相交。
1.3.3 一些推论和应用
对于某个元素 \(a\in G\)，我们称 \(a\) 的周期 \(o(a)=\min\{x\arrowvert a^x=e,x\in\mathbb N^*\}\)，在有限群内这个周期一定存在，否则我们令 \(o(a)=+\infty\)。
那么对于有限群 \(G\)，有以下推论：
对于 \(a\in G\)，有 \(o(a)|\ |G|\)。
证明：\(o(a)=|\langle a\rangle|\)，显然 \(\langle a\rangle \leq G\)，由拉格朗日定理可知 \(o(a)|\ |G|\)。
对每个 \(a\in G\)，都有 \(a^{|G|}=e\)。
证明：由前面的推论显然。
若 \(|G|\) 为素数，则 \(G\) 是循环群。
证明：对于 \(a \neq e\)，有 \(|\langle a\rangle|\neq 1\) 整除 \(|G|\)，也就是 \(|\langle a\rangle|=|G|\)，因为 \(\langle a\rangle\leq G\)，所以 \(\langle a\rangle=G\)。
有一些美妙的应用：
费马小定理：若 \(p\) 是质数，那么 \(\forall a\not\equiv 0\pmod p,a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。
证明只要考虑群 \((\{1,2,\cdots,p-1\}, \times \bmod p)\)。
欧拉定理：若 \(\gcd(a,p)=1\)，那么 \(a^{\phi(p)}\equiv 1\pmod p\)。
证明只要考虑群 \((\{x \arrowvert x\in[1,p),\gcd(x,p)=1\}, \times \bmod p)\)。
2 置换群
2.1 置换的定义
有限集合到自身的双射（即一一对应）称为置换。不可重集合 \(S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\) 上的置换可以表示为
\[ f=\left(\begin{array}{c} {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}} \\ {a_{p_{1}}, a_{p_{2}}, \dots, a_{p_{n}}} \end{array}\right) \]
表示将 \(a_i\) 映射为 \(a_{p_i}\)，即 \(f(a_i)=a_{p_i}\)。其中 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\) 是 \(1 \sim n\) 的一个排列。
如果我们没有强制 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 的排列顺序，那么显然这些列的顺序是不要紧的。
显然 \(S\) 上的所有置换的数量为 \(n!\)。
2.2 置换的乘法
对于两个置换，\(f=\left(\begin{array}{l}{a_{p_{1}}, a_{p_{2}}, \dots, a_{p_{n}}} \\{a_{q_{1}}, a_{q_{2}}, \dots, a_{q_{n}}}\end{array}\right)\) 和 \(g=\left(\begin{array}{c}{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}} \\{a_{p_{1}}, a_{p_{2}}, \ldots, a_{p_{n}}}\end{array}\right)\)，\(f\) 和 \(g\) 的乘积记为 \(f\circ g\)，其值为
\[ f \circ g=\left(\begin{array}{c} {a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}} \\ {a_{q_{1}}, a_{q_{2}}, \ldots, a_{q_{n}}} \end{array}\right) \]
即 \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)，简单来说就是先经过了 \(g\) 的映射再经过了 \(f\) 的映射。
2.3 置换群
易证，集合 \(S\) 上的所有置换关于置换的乘法满足封闭性、结合律、有单位元（恒等置换/单位置换，即每个元素映射成它自己）、有逆元（交换置换表示中的上下两行），因此构成一个群。
这个群的任意一个子群即称为置换群 。
2.4 循环置换
循环置换（也叫轮换）是一类特殊的置换，可表示为
\[ \left(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}\right)=\left(\begin{array}{c} {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m-1}, a_{m}} \\ {a_{2}, a_{3}, \dots, a_{m}, a_{1}} \end{array}\right) \]
若两个循环置换不含有相同的元素，则称它们是不相交的。有如下定理：
任意一个置换都可以分解为若干不相交的循环置换的乘积，例如
\[ \left(\begin{array}{l} {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}} \\ {a_{3}, a_{1}, a_{2}, a_{5}, a_{4}} \end{array}\right)=\left(a_{1}, a_{3}, a_{2}\right) \circ\left(a_{4}, a_{5}\right) \]
该定理的证明也非常简单。如果把元素视为图的节点，映射关系视为有向边，则每个节点的入度和出度都为 1，因此形成的图形必定是若干个环的集合，而一个环即可用一个循环置换表示。
2.5 置换的奇偶性
这个蛮提一下，虽然和重点没啥关系，但是挺有意思的。
我们知道排列有奇偶性，置换也有奇偶性。
排列的奇偶性：
- 定义排列的奇偶性和排列的逆序对数的奇偶性相同。
- 我们知道交换排列的两个相邻元素会使整个排列的逆序对数的奇偶性取反，而交换当前两个 \(p_i,p_j\) 可以用 \(2|i-j|-1\) 次交换相邻元素实现，因此交换任意两个不同元素也会使整个排列的逆序对数取反。
置换的奇偶性：
- 我们称对换为大小为 \(2\) 的非单位置换（即交换某两个元素）。定义置换的奇偶性与该置换变成单位置换所需的对换次数的奇偶性相同。
- 不难发现，对于置换 \(\left(\begin{array}{c} {1,2,\cdots,n} \\ {p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}} \end{array}\right)\)，其奇偶性与排列 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\) 的奇偶性相同。
- 我们发现，大小为 \(n\) 的轮换，可以用 \(n-1\) 次对换变成单位置换，而置换又可以分解为若干不相交的轮换。若一个置换可以分解为 \(d\) 个不相交的轮换，那么这个置换的奇偶性与 \(n-d\) 的奇偶性相同。
3 轨道-稳定子定理
定义 \(A,B\) 是两个有限集合，\(X=B^A\) 表示所有从 \(A\) 到 \(B\) 的映射，\(G\) 是作用在 \(A\) 上的一个置换群。
（比如给正方体六个面染色，\(A\) 就是正方体六个面的集合，\(B\) 就是所有颜色的集合，\(X\) 就是不考虑本质不同的方案集合，即 \(|X|=|B|^{|A|}\) ）
我们定义，对于每个 \(x\in X\)
\[ G^x=\{g\arrowvert g(x)=x,g\in G\}\\ G(x)=\{g(x) \arrowvert g \in G\} \]
其中 \(G^x\) 称为 \(x\) 的稳定子，\(G(x)\) 称为 \(x\) 的轨道。
轨道-稳定子定理：
\[ |G|=|G^x|\cdot |G(x)| \]
证明：首先可以证明 \(G^x\) 是 \(G\) 的一个子群，因为
- 封闭性：若 \(f,g\in G\) ，则 \((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x)=x\) ，所以 \(f\circ g\in G^x\)。
- 结合律：显然置换的乘法满足结合律。
- 单位元：因为 \(I(x)=x\) ，所以 \(I\in G^x\) （ \(I\) 为恒等置换）。
- 逆元：若 \(g\in G^x\) ，则 \(g^{-1}(x)=g^{-1}(g(x))=(g^{-1}\circ g)(x)=I(x)=x\) ，所以 \(g^{-1}\in G^x\)。
由拉格朗日定理得 \(|G|=|G^x|\cdot[G:G^x]\)。下面只要证明 \(|G(x)|=[G:G^x]\)（直观理解这是很显然的，但是我们还是要证明一下），即证明存在 \(G(x)\) 到 \(G^x\) 的所有不同左陪集的双射。令 \(\varphi(g(x))=\ _gG^x\)，下面证明 \(\varphi\) 是双射
- 若 \(g(x)=f(x)\) ，两边同时左乘 \(f^{-1}\) ，可得 \((f^{-1}\circ g)(x)=I(x)=x\) ，所以 \(f^{-1}\circ g\in G^x\) ，由陪集的性质可得 \(_gG^x=\ _fG^x\)。
- 反过来可证，若 \(_gG^x=\ _fG^x\) ，则有 \(g(x)=f(x)\) 。
- 以上两点说明对于一个 \(g(x)\) ，只有一个左陪集与其对应，即 \(\varphi\) 是一个从 \(G(x)\) 到左陪集的映射。
- 又显然 \(\varphi\) 有逆映射，因此 \(\varphi\) 是一个双射。
4 Burnside 引理
定义 \(A,B\) 是两个有限集合，\(X=B^A\) 表示所有从 \(A\) 到 \(B\) 的映射，\(G\) 是作用在 \(A\) 上的一个置换群（跟上面一样）。\(X/G\) 表示作用在 \(X\) 上产生的所有等价类的集合（若 \(X\) 中的两个映射能经过 \(G\) 中的置换作用后相等，则它们在同一等价类中）。
\(X/G\) 其实就是，对于所有的 \(x\in X\)，不同轨道的集合，这些轨道必定是不交的。因此我们也将 \(|X/G|\) 叫做 \(X\) 关于 \(G\) 的轨道数。
Burnside 引理：
\[ |X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \]
其中 \(X^g=\{x\arrowvert g(x)=x,x\in X\}\)，我们称 \(X^g\) 是 \(X\) 在置换 \(g\) 下的不动点集合。
文字描述：\(X\) 关于置换群 \(G\) 的轨道数，等于 \(G\) 中每个置换下不不动点的个数的算术平均数。
证明：（其实通过前面的引入，得到 Burnside 引理是水到渠成的。如果只是硬记这个引理会感觉莫名其妙，但是了解了证明才知道这个引理的牛逼之处，Burnside 引理本质上是更换了枚举量，从而方便计数）
\[ \begin{aligned} |X/G|&=\sum_{Y\in X/G}1\\ &=\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y}\frac{1}{|Y|}\\ &=\sum_{Y\in X/G}\sum_{x\in Y}\frac{1}{|G(x)|}\\ &=\sum_{x\in X}\frac{1}{|G(x)|}\\ \end{aligned} \]
根据轨道-稳定子定理，我们有 \(|G|=|G^x|\cdot |G(x)|\)，所以
\[ \begin{aligned} |X/G|&=\sum_{x\in X}\frac{1}{|G(x)|}\\ &=\frac{1}{|G|}\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|G(x)|}\\ &=\frac{1}{|G|}\sum_{x\in X}|G^x|\\ &=\frac{1}{|G|}|\left\{(x,g)\arrowvert g(x)=x,(x,g)\in X\times G\right\}|\\ &=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \end{aligned} \]
至此我们就证明了 Burnside 引理。
当然，Burnside 引理也可以用一些感性理解来证明，但是我觉得还是这样系统地证明一遍比较好。
5 Pólya 定理
其实就是 Burnside 引理的另一种形式。但是这种情况在 OI 中的运用更多一点，因为这个结论比较容易直接算。
前置条件与 Burnside 引理相同，内容修改为
\[ |X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |B|^{c(g)} \]
\(c(g)\) 表示置换 \(g\) 拆出的不相交轮换数量。
证明：在 Burnside 引理中，\(g(x)=x\) 的充要条件是 \(x\) 将 \(g\) 中每个轮换内的元素都映射到了 \(B\) 中的同一个元素，所以 \(|X^g|=|B|^{c(g)}\)，即可得 Pólya 定理。
6. 应用
题目我还没怎么做，所以先咕咕咕了。但是听说应用挺多的。