【学习笔记】之多项式使人头秃

真的自闭= =

多项式是什么鬼哦

首先介绍 FFT

~~我才不想写那么多柿子呢~~

大体说一下FFT干了啥

我们对两个多项式进行卷积（即多项式乘法）

$f=a*b$ 也就是 $f_i =\sum_{j=0}^i a_j * b_{i-j}$

暴力计算的话是n^2的

我们考虑把它变成点值[即(x,y)表示f(x)=y] 点值相乘就快了嘛但是变成点值了以后咋变回来呢

有个叫傅里叶的nb的人他发明了一个nb的东西叫傅里叶变换= =

也就是通过虚数中的单位根来计算就可以变回来了

单位根是什么东西呢就是在复平面上的一个单位圆将其弧等分成若干份第一个点位于(0,1)的n个点把这些数带进去就可以做啦

说起来很奇特对不对他其实就很奇特= =

具体详细的东西右转百度吧我实在是懒得写QAQ

实现上可以直接使用模板库里的complex（~~虽然我用起来非常不习惯~~）

扔个代码跑路。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 3000010
using namespace std;

const double Pi = acos(-1.0);

struct complex
{
    double x,y;
    complex(double xx=0.0,double yy=0.0){x=xx,y=yy;}
}A[maxn],B[maxn];
int l,r[maxn],limit=1;
complex operator + (complex a,complex b){return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator - (complex a,complex b){return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator * (complex a,complex b){return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}

void FFT(complex *a,int type)
{
    for(int i=0;i<limit;i++)
        if(i<r[i])	swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
    {
        complex Wn=complex(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));
        for(int R=mid<<1,j=0;j<limit;j+=R)
        {
            complex w=complex(1,0);
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn)
            {
                complex x=a[j+k],y=w*a[j+mid+k];
                a[j+k]=x+y;
                a[j+mid+k]=x-y;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int N,M,i,j;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    for(i=0;i<=N;i++)	scanf("%lf",&A[i].x);
    for(i=0;i<=M;i++)	scanf("%lf",&B[i].x);
    while(limit<=(N+M))	limit<<=1,l++;
    for(i=0;i<limit;i++)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    FFT(A,1);FFT(B,1);
    for(i=0;i<=limit;i++)
        A[i]=A[i]*B[i];
    FFT(A,-1);
    for(i=0;i<=N+M;i++)
        printf("%d ",(int)(A[i].x/limit+0.5));
    return 0;
}

然后我们就遇到了一个神奇的模数 998244353 ~~才不是1XXXXXX7~~

为什么是这个模数呢因为他是一个2^x* ...+1的一个素数具有一些优美的性质

我们就可以进行NTT[快速数论变换] /斜眼笑/

我们刚刚FFT中用的复平面中的单位根所以是有小数的

这个样子可不大好因为我们要取模所以我们有了一个很nb的东西叫做原根

原根有一些优美的性质就跟单位根一样 G ^ ((p-1)/i) 就是可以当成单位根使用的数啦 [i|(p-1)]这也就是p为什么要是 2^x *... +1的原因啦

小姿势：998244353的原根是3

其他详细的细节还是右转百度吧【大雾

扔个代码。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define maxn 300005
#define modn 998244353
#define G 3
#define ll long long
using namespace std;

int q_pow(ll base,ll pow)
{
	ll ans=1;
	while(pow)
	{
		if(pow&1){ans*=base;ans%=modn;}
		base*=base;base%=modn;pow>>=1;
	}
	return (int)ans;
}

int A[maxn],B[maxn],C[maxn];
int l,r[maxn],limit,inv;
void FFT(int *a,int type)
{
	int i,j,k;
	for(i=0;i<limit;i++)
		if(r[i]>i)
			swap(a[r[i]],a[i]);
	for(i=2;i<=limit;i<<=1)
	{
		int mid=i>>1;
		int Wn=q_pow(G,(modn-1)/i);
		if(type)	Wn=q_pow(Wn,(modn-2));
		for(j=0;j<limit;j+=i)
		{
			int w=1;
			for(k=0;k<mid;k++)
			{
				int x=a[j+k],y=a[j+mid+k];
				a[j+k]=x+(ll)w*y%modn;
				if(a[j+k]>=modn)	a[j+k]-=modn;
				a[j+k+mid]=x-(ll)w*y%modn;
				if(a[j+mid+k]<0)	a[j+mid+k]+=modn;
				w=(ll)w*Wn%modn;
			}
		}
	}
	if(type)
	{
		for(i=0;i<limit;i++)
			a[i]=(ll)a[i]*inv%modn;
	}
}

int main()
{
	int n,i,j,k,m,s;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=0;i<=n;i++)	scanf("%d",&A[i]);
	for(i=0;i<=m;i++)	scanf("%d",&B[i]);
	limit=1;while(limit<=(n+m))	limit<<=1,l++;
	for(i=0;i<limit;i++)
		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	inv=q_pow(limit,modn-2);
	FFT(A,0);FFT(B,0);
	for(i=0;i<=limit;i++)
		C[i]=(ll)A[i]*B[i]%modn;
	FFT(C,1);
	for(i=0;i<=(n+m);i++)
		printf("%d\n",C[i]);
	return 0;
}

于是我的姿势还只停留在 FFT/NTT 只是能求个卷积【大雾

然后就有一些奇奇怪怪的东西了=.=+

【奇奇怪怪的东西一】多项式求逆

我们现在有一个多项式f 我们要求一个多项式g满足 $f * g \equiv 1\ (mod\ x^n)$

这玩意看上去是不是非常奇怪啊~~【明明就是非常奇怪！~~

假设我们现在已知一个多项式h 满足 $f * h \equiv 1\ (mod\ x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil})$

我们可以得到 $g-h\equiv 0\ (mod\ x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil})$

平方 $g^2 -2g*h +h^2 \equiv 0 \ (mod\ x^n)$

卷上f $g - 2h\ + fh^2 \equiv 0\ (mod\ x^{n})$

移项 $g = 2h -fh^2 \ (mod \ x ^n)$

递归求解就好啦

边界当然是n=1的时候 g直接取f的常数项的逆元啦qwq。

附代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define inf 20021225
#define ll long long
#define mdn 998244353
#define G 3
#define mxn 300100
using namespace std;

int rev[mxn];

int ksm(int bs,int mi)
{
	int ans=1;
	while(mi)
	{
		if(mi&1)	ans=(ll)ans*bs%mdn;
		bs=(ll)bs*bs%mdn;mi>>=1;
	}
	return ans;
}
int inv;
void NTT(int *a,int lim,int f)
{
	for(int i=0;i<lim;i++)
		if(rev[i]>i)	swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int k=2;k<=lim;k<<=1)
	{
		int Wn=ksm(G,(mdn-1)/k),mid=k>>1;
		if(f)	Wn=ksm(Wn,mdn-2);
		for(int w=1,i=0;i<lim;i+=k,w=1)
		{
			for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn)
			{
				int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+j+mid]%mdn;
				a[i+j]=(x+y)%mdn;a[i+j+mid]=(x-y+mdn)%mdn;
			}
		}
	}
	if(f)	for(int i=0;i<lim;i++)	a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn;
}
int g[mxn],h[mxn],f[mxn];

void poly_inv(int n)
{
	if(n==1)
	{
		g[0]=ksm(f[0],mdn-2);
		//printf("%d\n",g[0]);
		return;
	}
	poly_inv((n+1)>>1);
	int lim=1,l=0;
	while(lim<(n<<1))	lim<<=1,l++;
	for(int i=0;i<lim;i++)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	inv=ksm(lim,mdn-2);
	for(int i=0;i<n;i++)	h[i]=f[i];
	for(int i=n;i<lim;i++)	h[i]=0;
	NTT(h,lim,0);NTT(g,lim,0);
	for(int i=0;i<lim;i++)
		g[i]=(ll)(2ll-(ll)g[i]*h[i]%mdn+mdn)%mdn*g[i]%mdn;
	NTT(g,lim,1);
	for(int i=n;i<lim;i++)	g[i]=0;
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)	scanf("%d",&f[i]);
	poly_inv(n);
	for(int i=0;i<n;i++)	printf("%d ",g[i]);
	return 0;
}