高等代数学习笔记（二）多项式——一元多项式

二、一元多项式

定义2 设n是一非负整数.形式表达式
$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0,（1）$$
其中$a_0,a_1,\dots ,a_n$全属于数域$P$，称为系数在数域$P$中的一个一元多项式，或者简称为数域$P$上的一个一元多项式.
$a_i{x}^k$称为k次项，$a_i$称为k次项系数.用$f(x),g(x),\dots$或$f，g，\dots$来代表多项式.

定义3 如果多项式$f(x)$与$g(x)$中,除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么$f(x)$与$g(x)$就称为相等，记为
$$f(x)=g(x)$$
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.

在（1）中，如果$a_n\ne 0$，那么$a_n{x}^n$称为多项式（1）的首项，$a_n$称为首项系数.n称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式$f(x)$的次数记为
$$\partial (f(x))$$
因为零多项式不定义次数，所以在用符号 $\partial (f(x))$ 时，总是假定 $f(x)\ne 0$.

为了方便计算和讨论

引入和号
设
$$\begin{gathered} f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0 \\ g(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_0 \end{gathered}$$
是数域P上的两个多项式，那么可以写成
$$\begin{gathered} f(x)=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}^i \\ g(x)=\sum _{i=1}^m{b}_j{x}^j \end{gathered}$$
若m=n,则
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}f(x)+g(x)& =(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\cdots +(a_1+b_1)+(a_0+b_0)\\ & =\sum _{i=1}^n(a_i+b_i)x^i\end{array}\end{array}$$

而$f(x)$与$g(x)$的乘积为
$$f(x)\cdot g(x)=a_n{b}_m{x}^{n+m}+(a_n{b}_{m-1}+a_{n-1}{b}_m)x^{m+n-1}+\cdots +(a_1{b}_0+a_0{b}_1)x+a_0{b}_0$$
其中$s$项的系数是
$$a_s{b}_0+a_{s-1}{b}_1+\cdots +a_1{b}_{s-1}+a_0{b}_s=\sum _{i+j=s}{a}_i{b}_j$$
所以$f(x)g(x)$可以表示成
$$f(x)g(x)=\sum _{s=0}^{m+n}(\sum _{i+j=s}{a}_i{b}_j)x^s$$

显然，数域P上的两个多项式经过加、减、乘、除等运算后，所得的结果仍然是数域P上的多项式.

对于多项式的加减法，不难看出
$$\partial (f(x)\pm g(x))\le max(\partial (f(x)),\partial (g(x)))$$

max(n,m)代表n,m中较大的一个数.

对于多项式的乘法，可以证明，如果$f(x)\ne 0,g(x)\ne 0$，那么$f(x)g(x)\ne 0$,并且
$$\partial (f(x)g(x))=\partial (f(x))+\partial (g(x))$$

设
$$\begin{gathered} f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0 \\ g(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_0 \end{gathered}$$

其中$a_n\ne 0,b_m\ne 0$，于是$f(x)g(x)$的首项是
$$a_n{b}_m{x}^{n+m}$$

显然$a_n{b}_m\ne 0$,因而$f(x)g(x)\ne 0$，且它的次数就是n+m.
由以上还可以看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.

多项式运算满足的规律
1.加法交换律
$$f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$$

2.加法结合律
$$(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))$$

3.乘法交换律
$$f(x)g(x)=g(x)f(x)$$

4.乘法结合律
$$(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))$$

5.乘法对加法的分配律
$$f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)$$

6.乘法消去律
如果$f(x)g(x)=f(x)h(x)$且$f(x)\ne 0$，那么
$$g(x)=h(x)$$

定义4 所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式闭环，记为P[x],P称为p[x]的系数域.