[学习笔记]多项式多点求值与多点插值 - 多项式理论 - 学习笔记

下文及代码中所有提及某个函数是以n为界或者是n次的，意思是其最高次项次数 $n-1$。
关于求逆，由牛顿迭代： $F=G^{-1}\\F_{n+1}=2F_n-F_n^2G$
关于多项式取模，A(x)以n为界，B(x)以m为界，需要求C(x)和D(x)，使得C(x)的界是n-m+1，D(x)的界是m-1：
$A(x)=B(x)C(x)+D(x)\\x^{n-1}A\left(\frac 1x\right)=\left(x^{m-1}B\left(\frac 1x\right)\right)\left(x^{n-m}C\left(\frac1x\right)\right)+x^{n-1}D\left(\frac 1x\right)$
注意到 $x^{n-1}D\left(\frac 1x\right)\bmod {x^{n-m+1}}=0$，因此（设 $A^{T_n}(x)$表示将 $A(x)$以 $n$为界翻转）：
$A^{T_{n}}(x)=B^{T_{m}}(x)C^{T_{n-m+1}}(x)\pmod {x^{n-m+1}}\\ C^{T_{n-m+1}}(x)=A^{T_{n}}(x)\left(B^{T_{m}}(x)\right)^{-1}$
因此可以求出 $C$，再通过一次乘法求出D即可。

多项式多点求值：
现在有一个以 $n$为界的多项式 $A(x)$，以及 $m$个位置 $x_1,\dots,x_m$，求 $A(x_1),\dots,A(x_m)$。
考虑分治，令 $L(x)=\prod_{i=L}^{mid}(x-x_i),R(x)=\prod_{i=mid+1}^R(x-x_i)$，那么 $A(x_i)=\left(A\bmod L\right)(x_i),\forall i\in[L,mid]$，右边同理，递归处理即可。 $L,R$可以分治NTT的时候保存下来。

多项式多点插值：
现在告诉你 $n$个位置的点值 $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$，求一个以 $n$为界的多项式 $A(x)$，使得 $\forall i\in[1,n],A(x_i)=y_i$。
考虑拉格朗日插值： $A(x)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j=1,|j-i|>0}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$
首先考虑 $v_i=\prod_{j=1,|j-i|>0}^n (x_i-x_j)$怎么求。
注意到令 $F(x)=\prod_{i=1}^n(x-x_i)$，那么 $F'(x)=\sum_{i=1}^n\prod_{j=1,|j-i|>0}^n(x-x_j)$，因此 $v_i=F'(x_i)$，分治NTT出 $F$求导再多点求值即可。
接下来考虑求 $\mathrm{solve}(L,R)=\sum_{i=L}^R\frac {y_i}{v_i}\prod_{j=L,|j-i|>0}^R(x-x_j)$。
令 $L(x)=\prod_{i=L}^{mid}(x-x_i),R(x)=\prod_{i=mid+1}^R(x-x_i)$
那么 $\mathrm{solve}(L,R)=\mathrm{solve}(L,mid)R(x)+L(x)\mathrm{solve}(mid+1,R)$。
几个卡常小技巧是：预处理单位根，多项式求逆的时候手动展开。