MATLAB之多项式插值

MATLAB之多项式插值

一、算法原理

函数解析式未知，但已知一些列点的函数值。如下表所示，对于n+1个点，我们可以找到一个次数不超过n的插值多项式。

，称f为x的n次插值多项式。

x0	x1	x2	x3	......	xn
f(x0)	f(x1)	f(x2)	f(x3)	......	f(xn)

将表中的n+1个点带入，即可得到n+1个插值多项式，

an*X0^n+a(n-1)*X0^(n-1)+....+a1*X0+a0=f(x1);

an*X1^n+a(n-1)*X1^(n-1)+....+a1*X1+a0=f(x1);

......

an*Xn^n+a(n-1)*Xn^(n-1)+....+a1*Xn+a0=f(x1);    在该插值多项式中x，f(x)已知,未知系数为a0 a1 a2...an; 将其写成矩阵形式： x0^n x0^(n-1)......x0^1 1                      [an             [f(x0) x1^n x1^(n-1)......x1^1 1                       a(n-1)        f(x1) ......                                                 *     ...          =   ... x(n-1)^n x(n-1)^(n-1)......x(n-1)^1 1       a1             f(x（n-1)) xn^n xn^(n-1)......xn^1 1                        a0]            f(xn)] x组成的行列式为范德蒙德行列式 =可写成vander(x0 x1 ... x(n-1)  xn) ,系数an...a1 a0 为列矩阵  ，f(x) 为列矩阵

二、matlab代码

clc
clear
close
x=[1 2 3 4 5 6];   %一系列插值点
y=[2 5 6 9 14 26]; 
plot(x,y,'o');  %绘制出散点图
hold on 
A=vander(x); %利用范德蒙矩阵生成插值多项式系数矩阵
%[x1^n x1^(n-1)......x1 1     [an
%  x2^n x2^(n-1)......x2 1     a(n-1)  
%   ......                  *  ......    =y
%   ......                     ......
%  xk^n xk^(n-1)......xk 1]    a0]
y=y'; 
B=[A,y]; %生成增广矩阵
C=rref(B);%  化最简型，解方程组
D=C(:,end);
fprintf('\n  这是一个%d阶的多项式，从高阶到低阶排列！\n',length(y)-1);
x=x(1):0.01:x(end); %绘制拟合曲线
y=polyval(D,x)% 写出拟合曲线方程
plot(x,y) %绘图