勒让德多项式学习笔记

数学物理方法（顾樵）》第14章学习笔记

第一节 勒让德方程的引入

将直角坐标的三维拉普拉斯方程 转换为极坐标形式，通过分离变量法、变量代换及设置特殊值的方法，得到勒让德方程：
$$(1-x^2)y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+l(l+1)y=0$$

另一种形式：
$$\frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d\Theta }{d\theta })=-l(l+1)\Theta$$

第二节 勒让德多项式

由配方法得到勒让德方程在 0 处的幂级数解：
$$y(x)=C_0{y}_0(x)+C_1{y}_1(x)$$

其中：
$$\begin{array}{rl}{y}_0(x)=& 1-\frac{l(l+1)}{2!}{x}^2+\frac{(l-2)l(l+1)(l+3)}{4!}{x}^4\\ & -\frac{(l-4)(l-2)l(l+1)(l+3)(l+5)}{6!}{x}^6\\ & +\frac{(l-6)(l-4)(l-2)l(l+1)(l+3)(l+5)(l+7)}{8!}{x}^8\\ & -\cdot \cdot \cdot \end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{y}_1=& x-\frac{(l-1)(l+2)}{3!}{x}^3+\frac{(l-3)(l-1)(l+2)(l+4)}{5!}{x}^5\\ & -\frac{(l-5)(l-3)(l-1)(l+2)(l+4)(l+6)}{7!}{x}^7\\ & +\cdot \cdot \cdot \end{array}$$

由达朗贝尔判别法知，$y_0(x)$ 与 $y_1(x)$ 的收敛半径为：1。
$l$ 特殊值下的解
$$y_0(x)=C_0+C_2{x}^2+C_4{x}^4+\cdot \cdot \cdot +C_l{x}^l(l为偶数)$$
$$y_1=C_{1}x+C_3{x}^3+C_5{x}^5+\cdot \cdot \cdot +C_l{x}^l(l为奇数)$$
设
$$C_l=\frac{(2l)!}{2^l(l!{)}^2}$$
则对 $y_0$ 与 $y_1$ 有一个统一的形式：
$$P_l(x)=\frac{1}{2^l}\sum _{m=0}^M(-1{)}^m\frac{(2l-2m)!}{m!(l-m)!(l-2m)!}{x}^{l-2m}$$

其中
$$M=\{\begin{array}{l}\frac{l}{2}(l=0,2,4,...)\\ \\ \frac{l-1}{2}(l=1,3,5,...)\end{array}$$

勒让德方程的通解 可写为：
$$y(x)=A{P}_l(x)+B{Q}_l(x)$$

其中 $Q_l(x)$ 是无穷级数，称为 第二类勒让德函数。

第三节 勒让德多项式的基本性质

性质	表达式
微分性质	$P_l(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^l}{d{x}^l}(x^2-1{)}^l$
积分性质	$P_l(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }(x+\sqrt{x^2-1}\cos \varphi {)}^{l}d\varphi$
生成函数	$\frac{1}{\sqrt{1-2rx+r^2}}={\sum }_{l=0}^{\infty }{P}_l(x)r^l(|x|\le 1,|r|<1)$

递推公式

n=1,2,3,…

1. $(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)$
2. $P_n(x)=P_{n+1}^{\prime }(x)-2x{P}_n^{\prime }(x)+P_{n-1}^{\prime }(x)$
3. $x{P}_n^{\prime }(x)-P_{n-1}^{\prime }(x)=n{P}_n(x)$
4. $P_{n+1}^{\prime }(x)-P_{n-1}^{\prime }(x)=(2n+1)P_n(x)$
5. $n{P}_{n+1}^{\prime }(x)+(n+1)P_{n-1}^{\prime }(x)=(2n+1)x{P}_n^{\prime }(x)$

n=0,1,2,…

6. $P_{n+1}^{\prime }(x)=(n+1)P_n(x)+x{P}_n^{\prime }(x)$

第四节 勒让德多项式的正交完备性

正交性
考察在勒让德多项式上的勒让德方程的施图姆-刘维尔形式

一个重要的积分公式：
$${\int }_{-1}^x{P}_l(x)P_m(x)dx=-\frac{(1-x^2)[P_l(x)P_m^{\prime }(x)-P_m(x)P_l^{\prime }(x)]}{m(m+1)-l(l+1)}(l\ne m)$$
模值
$${\int }_{-1}^1{P}_l^2(x)dx=\frac{2}{2l+1}dx$$

完备性
在 $[-1,1]$ 上的分段光滑函数 $f(x)$ 可以按勒让德多项式级数展开
$$f(x)=\sum _{l=0}^{\infty }{C}_l{P}_l(x)$$

其中：
$$C_l=\frac{2l+1}{2}{\int }_{-1}^1{P}_l(x)f(x)dx$$
在间断点 $x=x_0$ 处：
$$\sum _{l=0}^{\infty }{C}_l{P}_l(x_0)=\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}$$