线性代数之——子空间投影

向量 $ b = (2, 3, 4)$ 在 $z$ 轴上和在 $xy$ 平面上的投影是什么，哪个矩阵能产生到一条线上和到一个平面的投影？

当 $b$ 被投影到 $z$ 轴上时，它的投影 $p$ 就是 $b$ 沿着那条线的部分。当 $b$ 被投影到一个平面时，它的投影就是 $b$ 在平面中的部分。

到 $z$ 轴上的投影 $p_1 = (0, 0, 4)$，到 $xy$ 平面上的投影 $p_2 = (2, 3, 0)$，两个投影矩阵 $P_1$ 和 $P_2$ 分别为

$P_1$ 就是选出每个向量的 $z$ 分量， $P_2$ 就是选出每个向量的 $x$ 和 $y$ 分量。

在这个例子中，$z$ 轴和 $xy$ 平面是正交子空间，就像地面和两面墙的交线一样。

除此之外，它们还是正交补的。整个空间的任意向量都可以表示为它们在两个子空间中分量的和。

假设一条过原点的直线方向为 $a = (a_1, a_2,\cdots, a_m)$，我们要将点 $b = (b_1, b_2,\cdots, b_m)$ 投影到这条直线上。

投影 $p$ 和 $a$ 在一条直线上，因此有 $p = \hat xa$，误差 $e = b-p = b-\hat xa$，然后由 $e$ 垂直于 $a$，我们可得。

\[e \cdot a = 0 \to (b-\hat xa) \cdot a = 0 \to a\cdot b - \hat x a\cdot a = 0\]

因此，可求得系数 $\hat x$ 为

\[\hat x = \frac{a\cdot b}{a\cdot a} = \frac{a^Tb}{a^Ta}\]

投影为 $p = \hat x a = \frac{a^Tb}{a^Ta} a$。

如果 $b=a$，那么 $\hat x = 1$，投影还是它自己，$Pa = a$。如果 $b\perp a$，那么 $\hat x = 0$，投影为 0。

将投影重写为 $p = a \hat x =a \frac{a^Tb}{a^Ta} = \frac{aa^T}{a^Ta}b$。因此，投影矩阵 $P = \frac{aa^T}{a^Ta}$。

如果向量 $a$ 变为两倍，投影矩阵 $P$ 不变，它还是投影到同一条直线。如果投影矩阵平方，那就是进行两次投影，和进行一次投影是一样的结果，因此有 $P^2=P$。

同时，$I-P$ 也是一个投影矩阵，$(I-P)b = b-p = e$。当 $P$ 投影到一个子空间时，$I-P$ 投影到和它垂直的另一个子空间。

假设 $n$ 个 $\boldsymbol R^m$ 空间中的向量 $a_1,\cdots,a_n$ 是线性不相关的，我们想找到一个线性组合 $p=\hat x_1 a_1+\cdots+\hat x_n a_n$ 使得 $p$ 距离一个给定向量 $b$ 最近。

$a_1,\cdots,a_n$ 可以看做是矩阵 $A$ 的列，我们要找的线性组合是在矩阵 $A$ 的列空间中。我们要找的是距离$b$ 最近的一个组合 $A\hat x$，也就是 $b$ 在列空间的投影。

同理，误差 $e=b-A\hat x$ 垂直于子空间，也就是垂直于子空间的所有向量。

也即

\[A^T(b-A\hat x) = 0 \to A^TA\hat x = A^Tb\]

$A^TA$ 是一个 n×n 的矩阵，因为 $A$ 的列是线性不相关的，所以其是可逆的。可得线性组合系数为

\[\hat x = (A^TA)^{-1}A^Tb \]

所以有，投影和投影矩阵分别为

\[p = A \hat x = A(A^TA)^{-1}A^Tb\]

\[P = A(A^TA)^{-1}A^T\]

由 $A^T(b-A\hat x) = 0$ 可知，误差 $e$ 位于 $A$ 的左零空间 $N(A^T)$ 中，向量 $b$ 被分为了投影 $p$ 和误差 $e$ 两部分。

$A^TA$ 是可逆的当且仅当 $A$ 的列是线性不相关的。

当 $Ax=0$ 时，我们有 $A^TAx=0$。而当 $A^TAx=0$ 时，我们有
\[x^TA^TAx=0 \to (Ax)^TAx = 0 \to Ax = 0\]

因此 $A^TA$ 和 $A$ 有着一样的零空间，当 $A$ 的列线性不相关时，$A^TA$ 是一个方阵，对称并且可逆。

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