嗯哼哼 先说说空间是啥
就是集合 集合 集合
定义空间就是集合
所以
线性空间（向量空间）， 对数乘和向量加法封闭所组成的集合
嗯哼哼 维基百科定义
对线性空间而言，主要研究集合的描述。为了描述清楚，就引入了基的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。嗯哼哼 但是缺少“长度”的概念
所以定义的了范数
即范数的集合⟶ 赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间
嗯哼哼 在其基础往下 扩展 就增加了内积的概念 其实拥有角度 （投影）
线性赋范空间+内积运算⟶ 内积空间
嗯哼哼 内积空间的有长度 距离 以及角度 在有限维数中其表示如下
嗯哼哼 其实有限维的内积空间就是我们说的欧式空间
无限维的内积空间
也就是我们所说的积分
只需要积分的定义域分割区间越来越小，也就是分割的区间个数越来越多，对应的就是向量的维度越来越大。
直到无穷，即后面说的傅里叶变换
继续往下扩展就是 希尔伯特空间
其就是引入了极限和完备性
空间的完备性：间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。（柯西序列：一个柯西列或柯西数列是指这样一个数列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正数）
嗯哼哼 也就说柯西序列 是收敛的 而完备性有两个条件
1. 柯西序列
2.收敛还是在该空间
嗯哼哼 上维基栗子
内积空间+完备性⟶ 希尔伯特空间
嗯哼哼 为什么要使用希尔伯特空间
1.希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引申而来的正交性与垂直性的概念）。
2.希尔伯特空间还是一个完备的空间，其从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。
所以我们的正交变换都喜欢在希尔伯特空间下进行
顺便了解下
赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间