子空间的旋转

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矩阵 $X \in \R^{n\times 3}$，其列向量张成了 n 维空间中的一个线性子空间 $V = span\{X\} = span\{x_1,x_2,x_3\}$。那么对于任意一个满秩的 3 维矩阵 $P\in \R^{3\times 3}$： $span\{X\} = span\{XP\}$

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证明：
$Y \triangleq XP \in \R^{n \times 3}$
则有 $y_j = \sum_{i=1}^3 x_i P_{ij}$
所以 $\forall y \in span\{Y\},\; \exist \alpha_i,\; \\ y = \sum_{i=1}^3 \alpha_i y_i\\= \sum_{i=1}^3 \alpha_i \sum_{j=1}^3 x_j P_{ji} \\= \sum_{j=1}^3 x_j \sum_{i=1}^3 \alpha_iP_{ji} \\\Rightarrow y \in span\{X\} \Rightarrow span\{Y\} \subseteq span\{X\}$
另一方面 $X = YP^{-1} \triangleq YQ\\\Rightarrow span\{X\} \subseteq span\{Y\}$
综上
$span\{X\} = span\{Y\} = span\{XP\}$