二四、向量在子空间上的投影

1. 向量在直线上的投影

2. 向量在子空间上的投影

直线L实际上是一个特殊的子空间

定义：

假设V是Rn的一个子空间，V正交补是Rn的另一个子空间，Rn中的任意向量x为

那么，向量x在子空间V上的投影为向量v，向量x在子空间V正交补上的投影为w，即：

在二维、三维空间可以可视化，超过三维就没有办法可视化了

3. 求向量在子空间上的投影

 

假设V是Rn的一个子空间，且V的一组基为：

现在，用V的基向量构建一个矩阵A：

假设：

如果知道向量y，那么就可以求出向量x在子空间上的投影，下面为如何求出向量y

因为：

因为V子空间等于矩阵A的列空间，所以V正交补等于A转置矩阵的零空间

4. 向量在子空间上的投影是线性变换

任何表示成矩阵向量积的变换都是线性变换，所以向量在子空间上的投影是线性变换

5. 向量x在子空间的投影是子空间中距离x最近的向量

根据直角三角形斜边大于两个直角边可以证明