子空间方法——MUSIC算法

多重信号分类MUSIC算法

1. MUSIC算法原理

MUSIC算法，叫做多信号分类算法 (Multiple Signal classification)，是一种基于特征结构的高分辨率DOA算法。该算法利用了信号子空间和噪声子空间正交性的特点，构造噪声空间然后通过谱峰搜索来检测信号的波达方向。需要注意的是，该算法有一个前提，即各个入射信号之间互不相关，这样才能保证入射信号的协方差矩阵是满秩的。

考虑以下这个线阵模型：

令 $X(t)$ 是在第 $t$ 个快拍观察到的数据向量。在阵列信号处理和空间谱估计中, $\mathbf{X}(t)=$ ${\left[X_1(t),X_2(t),\cdots ,X_N(t)\right]}^{\mathrm{T}}$ 由 $n$ 个阵元 (天线或传感器) 的观测数据组成。在时域谱估计中，向量 $\mathbf{x}(t)=[x(t),x(t-1),\cdots ,x(t-n-1){]}^{\mathrm{T}}$ 由连续的 $n$ 个观察数据样本组成。
假定数据向量 $\mathbf{X}(t)$ 是 $r$ 个窄带信号入射到 $N$ 个阵元组成的阵列的观察数据向量或者是 $r$ 个不相干的复谐波的叠加，即
$$\mathbf{X}(t)=\sum _{i=1}^r{s}_i(t)\mathbf{a}\left({\omega }_i\right)+\mathbf{v}(t)=\mathbf{A}\mathbf{s}(t)+\mathbf{n}(t)$$式中， $\mathbf{A}=\left[\mathbf{a}\left({\omega }_1\right),\cdots ,\mathbf{a}\left({\omega }_r\right)\right]$ 为 $N\times r$ 阵列流型矩阵，$\mathbf{a}\left({\omega }_i\right)={\left[1,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_i},\dots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(N-1){\omega }_i}\right]}^{\mathrm{T}}$ 为方向向量; $\mathbf{s}(t)={\left[s_1(t),\cdots ,s_r(t)\right]}^{\mathrm{T}}$ 为随机信号向量，其均值为零向量，协方差矩阵为 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{s}}=\mathrm{E}\left\{\mathbf{s}(t){\mathbf{s}}^{\mathrm{H}}(t)\right\};$ 而 $\mathbf{v}(t)={\left[v_1(t),\cdots ,v_N(t)\right]}^{\mathrm{T}}$ 为加性噪声向量，其各个分量为高斯白噪声，它们具有零均值和相同的方差 ${\sigma }^2$ 。在谐波恢复中，参数 ${\omega }_i$ 为复谐波的 频率 ; 在阵列信号处理中, ${\omega }_i$ 是一空间参数
$${\omega }_i=2\pi \frac{d}{\lambda }\sin {\theta }_i$$式中, $d$ 为相邻两个阵元之间的距离 (假定阵元等间距排列成一直线)，$\lambda$ 为波长, 且 ${\theta }_i$ 表 示第 $i$ 个窄带信号达到阵元的入射方向，简称波达方向。
MUSIC算法要解决的是根据 $N$ 个快拍的观测数据向量 $\mathbf{X}(t)(t=1,2,\cdots ,N)$ 估计 $r$ 个参数 ${\omega }_{i\circ }$ 这相当于对 $r$ 个混合信号进行分类，简称多重信号分类。
假定噪声向量 $\mathbf{v}(t)$ 与信号向量 $\mathbf{s}(t)$ 统计不相关，并令观测数据向量的协方差矩阵 ${\mathbf{R}}_{xx}=\mathrm{E}\left\{\mathbf{x}(t){\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}(t)\right\}$ 的特征值分解为
$${\mathbf{R}}_{xx}={\mathbf{A}\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}+{\sigma }^2\mathbf{I}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{U}}^{\mathrm{H}}=[{\mathbf{U}}_{\mathbf{S}},{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}]\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{S}}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{N}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\mathbf{U}}_S^{\mathrm{H}}\\ {\mathbf{U}}_N^{\mathrm{H}}\end{array}\right]$$式中, ${\mathbf{R}}_{ss}=\mathrm{E}\left\{\mathbf{s}(t){\mathbf{s}}^{\mathrm{H}}(t)\right\},$ 且 ${\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{S}}$ 包含了 $r$ 个大特征值, 它们比 ${\sigma }^2$ 明显大很多，${\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{N}}={\sigma }^2{I}_{n-r}$。
因此有：
$${\mathbf{R}}_{xx}{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}=[{\mathbf{U}}_{\mathbf{S}},{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}]\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{S}}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{N}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\mathbf{U}}_S^{\mathrm{H}}\\ {\mathbf{U}}_N^{\mathrm{H}}\end{array}\right]{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}=[{\mathbf{U}}_{\mathbf{S}},{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}]\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{S}}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{N}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\mathbf{O}\\ \mathbf{I}\end{array}\right]={\sigma }^2{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}$$
又由 ${\mathbf{R}}_{xx}={\mathbf{A}\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}+{\sigma }^2\mathbf{I}$ 有 ${\mathbf{R}}_{xx}{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}={\mathbf{A}\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}+{\sigma }^2{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}},$联立上式可以得到
$${\mathbf{A}\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}=\mathbf{O}$$进而有
$${\mathbf{U}}_N^{\mathrm{H}}{\mathbf{A}\mathbf{R}}_{ss}{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}=\mathbf{O}$$
众所周知, $\mathbf{Q}$ 非奇异时 ${\mathbf{t}}^{\mathrm{H}}\mathbf{Q}\mathbf{t}=0,$ 当且仅当 $\mathbf{t}=0,$ 故上式成立的充分必要条件是
$${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}=\mathbf{O}$$因为 $R_{ss}=\mathrm{E}\left\{s(t)s^{\mathrm{H}}(t)\right\}$ 非奇异。将 $\mathbf{A}=\left[\mathbf{a}\left({\omega }_1\right),\cdots ,\mathbf{a}\left({\omega }_p\right)\right]$ 代入上式即有
$${\mathbf{a}}^{\mathrm{H}}(\omega )\mathbf{G}=0^{\mathrm{T}},\omega ={\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_p$$显然, 当 $\omega \ne {\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_p$ 时, ${\mathbf{a}}^{\mathrm{H}}(\omega )\mathbf{G}\ne 0^{\mathrm{T}}$ 。
将上式改写成标量形式, 可以定义一种类似于功率谱的函数
$$\mathbf{P}(\omega )=\frac{1}{{\mathbf{a}}^{\mathrm{H}}(\omega ){\mathbf{U}}_N{\mathbf{U}}_N^{\mathrm{H}}\mathbf{a}(\omega )}$$由于噪声的影响，${\mathbf{a}}^{\mathrm{H}}(\omega ){\mathbf{U}}_{\mathbf{N}}{\mathbf{U}}_N^{\mathrm{H}}\mathbf{a}(\omega )\ne 0$，而是一个很小的数，因此此时的$\mathbf{P}(\omega )$是一个极大值。对上式取峰值的 $r$ 个 $\omega$ 值 ${\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_r$ 给出 $r$ 个信号的波达方向 ${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_r$。
同时在实际应用中，接收阵接收到的数据有限长，我们可以通过这些数据估计入射信号的协方差矩阵，达到极大似然估计的目的。假设有M个快拍snapshot，则有
$${\hat{R}}_{xx}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^M{x}_i{x}_i^H$$然后对协方差矩阵${\hat{R}}_{xx}$进行特征值分解：
$$\begin{array}{rl}{\hat{R}}_{xx}& =U\Sigma U^H\end{array}$$特征值分解后按照特征值的大小(从大到小)对特征向量进行重排，接下来就是要确定噪声子空间。假设排序后的特征值${\sigma }_1^2⩾{\sigma }_2^2⩾\cdots ⩾{\sigma }_r^2⩾{\sigma }_{r+1}^2⩾\cdots ⩾{\sigma }_N^2$，接收信号总能量定义为$$P={\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+\cdots +{\sigma }_N^2$$根据能量准则，如果J是满足下式的最小整数：$$\frac{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+\cdots +{\sigma }_J^2}{P}⩾0.95或0.9$$那么 { σ J + 1 2 , σ J + 2 2 ⋯   , σ N 2 } \{\sigma_{J+1}^{2},\sigma_{J+2}^{2}\cdots,\sigma_{N}^{2}\} { σJ+12​,σJ+22​⋯,σN2​}对应的特征向量组成的空间$\widehat{U_N}$即为噪声子空间。
还有另外一种确定J的方法，即J是满足下式的最小整数：
$$\frac{{\sigma }_J^2}{{\sigma }_{J+1}^2}⩾10$$
然后就可以用$\mathbf{P}(\omega )=\frac{1}{{\mathbf{a}}^{\mathrm{H}}(\omega ){\hat{\mathbf{U}}}_{\mathbf{N}}{\hat{\mathbf{U}}}_{\mathbf{N}}^{\mathrm{H}}\mathbf{a}(\omega )}$进行谱峰搜索，寻找r个入射信号的来波方向。

2. MATLAB仿真代码

未完待续