子空间直和

子空间直和

假设基任意分为两个互补的无关组，例如 $V_1 = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_k})$ 和 $V_2 = (\mathbf{v_{k+1}},\cdots,\mathbf{v_m})$ ， $k \ge 1 \quad 且\quad k < m$ ，这两个无关组张成子空间， $S_1(V_1)$ 和 $S_2(V_2)$ ，有什么关系呢？

首先两个子空间维度为 $dim S_1 = k$ ， $dim S_2 = m-k$ ，维度和等于空间维度 $m$ 。

其次如果向量 $\mathbf{v}$ 同时属于这两个子空间，则必为 $\mathbf{0}$ 向量。

证：因为 $\mathbf{v} \in S_1$ ，则 $\mathbf{v} = \alpha_1\mathbf{v_1} + \cdots + \alpha_k\mathbf{v_k}$ ；因为 $\mathbf{v} \in S_2$ ，则 $\mathbf{v} = \alpha_{k+1}\mathbf{v_{k+1}} + \cdots + \alpha_m\mathbf{v_m}$ 。假设 $\mathbf{v}$ 不等于 $\mathbf{0}$ 向量，则 $\alpha_1\mathbf{v_1} + \cdots + \alpha_k\mathbf{v_k} = \alpha_{k+1}\mathbf{v_{k+1}} + \cdots + \alpha_m\mathbf{v_m}$ ，得 $\mathbf{0} = (\alpha_1\mathbf{v_1} + \cdots + \alpha_k\mathbf{v_k}) - (\alpha_{k+1}\mathbf{v_{k+1}} + \cdots + \alpha_m\mathbf{v_m})$ ，表明 $\mathbf{0}$ 向量能被基表示且表示系数不全0，与 $\mathbf{0}$ 向量被基表示时系数为全0 矛盾！

这表明两个子空间仅在原点相交！

最后，若 $\mathbf{v} \in S_1$ ， $\mathbf{w} \in S_2$ ，则向量 $\mathbf{v} + \mathbf{w}$ 构成整个空间。

证：因为 $\mathbf{v} \in S_1$ ，则 $\mathbf{v} = \alpha_1\mathbf{v_1} + \cdots + \alpha_k\mathbf{v_k}$ ；因为 $\mathbf{w} \in S_2$ ，则 $\mathbf{w} = \alpha_{k+1}\mathbf{v_{k+1}} + \cdots + \alpha_m\mathbf{v_m}$ 。

所以 $\mathbf{v} + \mathbf{w} = (\alpha_1\mathbf{v_1} + \cdots + \alpha_k\mathbf{v_k}) + (\alpha_{k+1}\mathbf{v_{k+1}} + \cdots + \alpha_m\mathbf{v_m})$ 。这显然就是基的线性组合，能表示整个空间！

根据上面结论，定义几个概念。

定义 子空间和 $S_1$ 和 $S_2$ 是子空间，其和为向量集合 $S$ ，具有如下性质：如果 $\mathbf{v} \in S_1$ 和 $\mathbf{w} \in S_2$ ，则 $\mathbf{v} + \mathbf{w} \in S$ ，记为 $S = S_1 + S_2$ 。

理解难点在于，子空间和是两个集合的和，不是集合的并，集合并是集合元素聚合在一起，子空间和是向量相加，是加法，不是聚合！

三维空间中，两个子空间分别为一条直线，则空间和为两直线构成的空间（一般是平面）。如两个子空间分别为一条直线和一平面，则空间和为直线和平面构成的空间。如两个子空间分别为一个平面，则空间和为两平面构成的空间。

定义 子空间直和 $S_1$ 和 $S_2$ 是子空间，两空间仅在原点相交，其和 $S$ 为直和，记为 $S = S_1 \oplus S_2$ 。

三维空间中，比如两个子空间分别为一条直线，如两条直线不重合，则仅在原点相交，为直和。如两个子空间分别为一条直线和一平面，如直线不位于平面内，则仅在原点相交，为直和。如两个子空间分别为一个平面，两个平面必相交于直线，不是直和。
重要性质 直和的几何图像是，空间中任意向量分解为子空间向量和时，只有唯一分解。
空间 $S$ 中向量 $\mathbf{v}$ 分解为子空间 $S_1$ 的向量 $\mathbf{v_1}$ 与子空间 $S_2$ 的向量 $\mathbf{v_2}$ 和时，即 $\mathbf{v} = \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}$ ，则 $\mathbf{v_1}$ 和 $\mathbf{v_2}$ 是唯一的。根据无关组表示任意向量的唯一性易得该性质。

空间分解为直和的好处是，各个子空间独立，因为它们只在原点相交，可以分开单独处理。

重要性质 基的两个互补子集张成的子空间，和是直和。

该性质可以推广到任意无关组，不一定要基。

重要性质 无关组的两个互补子集张成的子空间，和是直和。

重要性质 如果 $S = S_1 \oplus S_2$ ，则 $dim S = dim S_1 + dim S_2$ ，反之亦然。

根据任意无关组可扩充为基的性质，得

重要性质 空间 $S_1$ 是 $S$ 子空间，则必存在子空间 $S_2$ 使得 $S = S_1 \oplus S_2$ ，称 $S_2$ 为 $S_1$ 的补子空间。

任意空间 $S$ 分解为两个子空间的直和，子空间又可以进一步直和分解，直到所有子空间维度均为 $1$，总共分解为 $dim S$ 个一维子空间。