子空间

子空间

二维平面经常研究直线，三维空间经常研究平面，它们都是整个空间的部分空间。整个空间是向量集合，那部分空间应该是其子集，所以部分空间称为子空间。无关组是基的子集，基的线性组合可以表示整个空间，那无关组的线性组合是否可以表示子空间呢？

无关组张成子空间

二维空间中任意向量可分解为任意不共线的两个向量和，三维空间中任意向量可也分解为两个向量和：一个向量位于任意平面内，另一个向量位于平面外。那整个空间也可以分解为两个子空间的和吗？

解开空间分解的钥匙在于基！令 $m$ 维空间基为 $V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_m})$ ，其线性组合表示的向量集合为
$S(V)=\{\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_m\mathbf{v_m}\}$

以前都是把基作为一个整体看，现在换个角度看，世界就变了！

假设基任意分为两个互补的无关组，例如 $V_1 = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_k})$ 和 $V_2 = (\mathbf{v_{k+1}},\cdots,\mathbf{v_m})$ ， $k \ge 1 \quad 且 \quad k < m$ ，上式变为，
$S(V) = \{\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_m\mathbf{v_m}\}\\ = \{(\alpha_1\mathbf{v_1} + \cdots + \alpha_k\mathbf{v_k}) + (\alpha_{k+1}\mathbf{v_{k+1}} + \cdots + \alpha_m\mathbf{v_m})\} \\ = \{S_1(V_1) + S_2(V_2)\}$
这两个向量组都是基的子集，所以它们是无关组。 $S_1(V_1)$ 是无关组 $V_1$ 的线性组合表示的向量集合， $S_2(V_2)$ 是无关组 $V_2$ 的线性组合表示的向量集合。既然基的线性组合表示的向量集合是整个空间，那基的子集线性组合表示的向量集合，也是个空间，称为子空间。

定义 子空间 基的子集线性组合表示向量的集合，也称子集张成的空间。

那子空间几何图像是什么呢？举例如下，二维空间中，假设基为： $V = (\mathbf{v_1}=(1,0),\mathbf{v_2}=(0,1))$ 。子集只有一个向量，如 $\mathbf{v_1}$ ，其线性组合是 $\alpha\mathbf{v_1}$ ，表示一条直线！直线是二维平面的子空间，直线具体为 $(\alpha,0)$ 即 $x$ 轴。子集 $\mathbf{v_2}$ 张成的子空间是 $y$ 轴。

三维空间中，假设基为： $V = (\mathbf{v_1}=(1,0,0),\mathbf{v_2}=(0,1,0),\mathbf{v_3}=(0,0,1))$ 。子集是 $\mathbf{v_1}$ 时，其线性组合是 $\alpha\mathbf{v_1}$ ，表示一条直线！直线是三维空间的子空间，直线具体为 $(\alpha,0,0)$ 即 $x$ 轴。子集 $\mathbf{v_2}$ 张成的子空间是 $y$ 轴，子集 $\mathbf{v_3}$ 张成的子空间是 $z$ 轴。

子集是 $\{\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}\}$ 时，其线性组合是 $\alpha\mathbf{v_1}+\beta\mathbf{v_2}$ ，表示一个平面！平面是三维空间的子空间，平面由这两个向量确定，具体为 $(\alpha,\beta,0)$ 即 $xy$ 平面。

定义 子空间维度 无关组张成的子空间的维度等于无关组中向量的数量。

这个定义和 $m$ 维空间的维度相融，因为 $m$ 维空间中无关组中向量的数量是 $m$ 。

比如三维空间中任意过原点的平面是子空间，维度是2维；二维平面中任意过原点的直线是子空间，维度是1维。

特别强调下，原点 $\mathbf{0}$ 向量构成一个0维子空间。

定义 子空间基 子空间的基就是张成该子空间的无关组。

比如三维空间中任意过原点的平面是子空间，子空间基就是该平面内任意两个不共线的向量；二维平面中任意过原点的直线是子空间，子空间基就是该直线内任意向量。

子空间的基，如果空间的基一样，有无穷多种，也是正交基最简。

比如三维空间中，假设无关组为： $V_1 = (\mathbf{v_1}=(1,0,0),\mathbf{v_2}=(0,1,0))$ 。其线性组合是 $\alpha\mathbf{v_1}+\beta\mathbf{v_2}$ ，表示 $xy$ 平面，即 $(\alpha,\beta,0)$ ，基是标准正交基。另一无关组为： $V_2 = (\mathbf{v_1}=(1,1,0),\mathbf{v_2}=(2,1,0))$ 。其线性组合是 $\alpha\mathbf{v_1}+\beta\mathbf{v_2}$ ，同样表示 $xy$ 平面，即 $(\alpha+2\beta,\alpha+\beta,0)$ ，基是普通基。这两个无关组都是 $xy$ 平面的基。

定义 无关组等价 无关组张成同一子空间。

等价无关组中向量数量等于子空间维度。这个概念是从几何上判断无关组等价，无关组向量可互相表示是从代数上判断等价。做到数形结合，才能真正理解概念。

线性空间

无关组张成的空间是线性空间，那什么是线性空间呢？是不是平面内任意直线都是线性空间，三维空间中任意直线和平面都是线性空间？不是的，必须是过原点的直线和平面才是线性空间！为什么要这么定义呢？线性空间是向量的集合，必须满足对向量进行数乘和两个向量相加后，结果向量位于原空间内，这样要求后，数学上特别容易处理。

定义 线性空间 线性空间 $S$ 是向量集合，集合内向量必须满足下述两个性质：

1. 如果向量 $\mathbf{v} \in S$ ，则向量的任意实数乘 $\alpha \mathbf{v} \in S$ ；
2. 如果任意两个向量 $\mathbf{v} \in S$ 和 $\mathbf{w} \in S$ ，则它们和 $\mathbf{v} + \mathbf{w} \in S$ 。

上面两个性质称为线性空间的数乘和相加封闭性，即向量数乘和相加后还必须位于空间，即封闭性。

重要性质 根据线性空间的性质1，当实数为0时，线性空间必须包括 $\mathbf{0}$ 向量。

如果两个向量 $\mathbf{v} \in S$ 和 $\mathbf{w} \in S$ ，根据性质1，得 $\alpha\mathbf{v} \in S$ 和 $\beta\mathbf{w} \in S$ ；再根据性质2得， $\alpha\mathbf{v} + \beta\mathbf{w} \in S$ 。

向量的线性组合属于集合，由于线性组合是线性运算，所以称为线性空间。

重要性质 对任意数量向量
$if \quad \mathbf{v_i} \in S \quad (i=1,\cdots, n) \quad then \quad \alpha_1 \mathbf{v_1} + \cdots + \alpha_n \mathbf{v_n} \in S$
取任意向量组 $V=(\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})$ ，这样向量组 $V$ 线性组合所表示的所有向量构成了线性空间，记为 $S(V)$ ，空间 $S$ 称为由向量组 $V$ 张成，向量组 $V$ 称为空间 $S$ 的生成向量组。

根据这个定义，当向量组取无关组或基时，就是前面定义的空间，所以前面介绍的空间都是线性空间。后面空间不特别说明，均指线性空间。

线性空间不需要定义向量内积，只需定义向量数乘和加法。定义了内积的线性空间，称为内积空间，即欧几里德空间，这是我们最熟悉的空间。