算法第三章上机实践报告

1. 实践题目
   

   7-1 数字三角形 （30 分）

   给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

   

   输入格式:

   输入有n+1行：

   第 1 行是数字三角形的行数 n，1<=n<=100。

   接下来 n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99 之间。

   输出格式:

   输出最大路径的值。

   输入样例:

   在这里给出一组输入。例如：

   5 
   7 
   3 8 
   8 1 0 
   2 7 4 4
   4 5 2 6 5 
   

   输出样例:

   在这里给出相应的输出。例如：

   30

2. 问题描述
   要求先输入一个n行的数，每行的元素个数i满足i=n（n是行数），即形成一个三角形的形状（但实际可以理解成输入一个矩阵的下三角）。随后求从最顶端的那个元素往下遍历，要求遍历路径上的元素相加以后值最大。
   
   
3. 算法描述
   假定a[i][j]表示第i行到第j行的路径上的元素相加以后的最大值，因此可以得到递推式：a[i][j]=max{a[i][j]+b[i+1][j], a[i][j]+b[i+1][j+1]}
   采用自底向上的方法来计算最大值，首先是把最底下一行的值都赋值给a[n][j]（j for 1 to n)，然后是不断地向上，不断地把b的值赋给a，赋值完成以后就不用考虑这一行了。

4.  1 void NumberTriangle(int n, int a[][101], int b[][101])
    2 {
    3         for(int j = 1; j <=n; j++)    {
    4             a[n][j] = b[n][j];
    5         }
    6     for(int i = n - 1; i >= 1; i--)    {
    7         for(int j = 1; j <= i; j++)    {
    8             if(a[i+1][j] > a[i+1][j+1]) a[i][j] = a[i+1][j] + b[i][j];
    9             else a[i][j] = a[i+1][j+1] + b[i][j];
   10         }
   11     }
   12     cout << a[1][1];
   13 

5. 算法时间及空间复杂度分析（要有分析过程）
   

       for(int i = n - 1; i >= 1; i--)    {
    7         for(int j = 1; j <= i; j++)    {

   据此可知时间复杂度为O（n²）空间复杂度O（n²）

6. 心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）
   通过本次的实践练习，进一步的理解了动态规划算法如何在不同问题中进行实际的应用，对动态规划算法的思想有了进一步的理解，也更加熟悉了动态规划算法的解题步骤，知道了如何根据递归方程写出对应的代码。