Newcoder 40 E.珂朵莉的数论题（数论+二分+容斥）

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Description

珂朵莉想求：

第 $x$小的正整数 $v$使得其最小的质因数为质数 $y$，即正好有 $x-1$个 $[1,v-1]$之内的正整数满足其最小的质因数为质数 $y$。

若答案超过 $1000000000$则输出 $0$。

Input

第一行两个正整数 $x,y$

$(1\le x,y\le 10^9)$

Output

输出一个整数表示答案

Sample Input

2 3

Sample Output

9

Solution

分类讨论，若 $y\ge S$，线性筛出 $[1,\lfloor\frac{10^9}{y}\rfloor]$中所有不以小于 $y$的素数为因子的数即可；若 $y\le S$，取适合的 $S$使得小于 $y$的素数不太多，二分答案 $mid$，容斥求出 $[1,\lfloor\frac{mid}{y}\rfloor]$中不以小于 $y$的素数为因子的数即可， $S$取 $60$左右即可

Code

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=16700000,S=60;
vector<int>p;
bool mark[maxn],vis[66];
void prime(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(!vis[i])
		{
			p.push_back(i);
			for(int j=2*i;j<=n;j+=i)vis[j]=1;
		}
}
int check(int n,int m)
{
	int M=1<<m,ans=n;
	for(int i=1;i<M;i++)
	{
		int num=0,temp=n;
		for(int j=0;j<m;j++)
			if((i>>j)&1)
				num++,temp/=p[j];
		if(num&1)ans-=temp;
		else ans+=temp;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int x,y;
	scanf("%d%d",&x,&y);
	if(y>=S)
	{
		int n=1e9/y;
		if(n<x)printf("0\n");
		else
		{
			for(int i=2;i<y;i++)
				if(!mark[i])
					for(int j=i;j<=n;j+=i)mark[j]=1;
			int res=0;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				if(!mark[i])
				{
					res++;
					if(res==x)
					{
						printf("%d\n",i*y);
						break;
					}
				}
			if(res<x)printf("0\n");
		}
	}
	else
	{
		prime(S);
		int m;
		for(int i=0;i<p.size();i++)
			if(p[i]==y)
			{
				m=i;
				break;
			}
		int l=1,r=1e9/y,mid,ans=0;
		while(l<=r)
		{
			mid=(l+r)/2;
			if(check(mid,m)>=x)ans=mid*y,r=mid-1;
			else l=mid+1;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}