Newcoder 156 E.托米的数学（数论）

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Description

在本题的题目描述中，托米是一个数学家，熟练掌握着任意进制的运算法则，托米喜欢一种数，比如 $(142857)_{10}$, $142857$满足某种神秘性质，即 $142857$的任何一种循环位移都能由 $142857\cdot x$ 表示，其中 $1\le x\le l$, $l$为数字的长度

由于托米熟悉任意进制的运算法则，所以他会给你一个 $n$和一个 $x$, 你需要找出一个最大的 $b$, $1＜b＜x$，满足 $b$ 进制下存在一个长为 $n$ 的正整数满足前文的神秘性质，例如 $(0011)_2$, 就是一个满足条件的，长度为 $4$ 的二进制数

Input

一行输入 $n,x(1\le n\le 5\cdot 10^6,2\le x\le 10^9)$

Output

输出题目要求的最大的 $b$, 不存在输出 $“-1”$

Sample Input

6 11

Sample Output

10

Solution

考虑长度为 $n$的 $b$进制数字 $a$满足条件，那么 $0.\dot a$这个无限循环小数必然是有理数，也即存在 $(p,q)=1$使得 $0.\dot a=\frac{p}{q}$，由 $a$所满足的条件知集合 $\{a,2a,...,na\}$和集合 $\{a,ba,...,b^{n-1}a\}$的小数部分相同，而这等价于这两个集合中数字有理表示的分子模 $q$的余数相同，即 $\{p,2p,...,np\}$和 $\{p,bp,...,b^{n-1}p\}$在模 $q$意义下相同，两边同乘 $p$模 $q$的逆元则有 $\{1,2,...,n\}$和 $\{1,b,...,b^{n-1}\}$相同，这意味着 $n+1$是素数且 $b$是模 $n+1$逆元且，故只要从 $x-1$到 $2$从大到小枚举 $b$判断 $b$是否为 $n+1$逆元即可

Code

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool check(int n)
{
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
		if(n%i==0)return 0;
	return 1;
}
int Pow(int a,int b,int c)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=(ll)ans*a%c;
		a=(ll)a*a%c;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int n,x;
vector<int>v;
void deal(int n)
{
	v.clear();
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
		if(n%i==0)
		{
			v.push_back(i);
			while(n%i==0)n/=i;
		}
	if(n>1)v.push_back(n);
}
bool Solve(int x)
{
	for(int i=0;i<v.size();i++)
		if(Pow(x,n/v[i],n+1)==1)return 0;
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&x);
	if(x==2||!check(n+1))printf("-1\n");
	else
	{
		deal(n);
		int ans=-1;
		for(int i=x-1;i>=2;i--)
			if(Solve(i))
			{
				ans=i;
				break;
			}
		printf("%d\n",ans);
	}
}