Newcoder 132 E.简单数据结构1（BIT+数论）

Description

给一个长为 $n$ 的序列， $m$ 次操作，每次操作：

1.区间 $[l,r]$ 加 $x$

2.对于区间 $[l,r]$ ，查询 $a_l^{a_{l+1}^{a_{l+2}...}}\ mod\ p$ ，一直到 $a_r$

请注意每次的模数不同。

Input

第一行两个整数 $n,m$ 表示序列长度和操作数

接下来一行， $n$ 个整数，表示这个序列

接下来 $m$ 行，可能是以下两种操作之一：

操作 $1$ ：区间 $[l,r]$ 加上 $x$

操作 $2$ ：查询区间 $[l,r]$ 的那个式子 $mod\ p$ 的值

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$(n,m\le 5\cdot 10^5,x\le 2\cdot 10^9,p\le 2\cdot 10^7)$

Output

对于每个询问，输出一个数表示答案

Sample Input

6 4
1 2 3 4 5 6
2 1 2 10000007
2 2 3 5
1 1 4 1
2 2 4 10

Sample Output

1
3
1

Solution

树状数组维护区间修改，由指数循环定理 $A^B\%C=A^{B\%\varphi(C)+\varphi(C)}\%C,B\ge \varphi(C)$ 和欧拉函数的快速收敛，直接递归求即可，注意有时候指数可能不用多加 $\varphi(C)$ ，故需要判断其幂指数上的值和 $\varphi(C)$ 的大小关系

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
#define maxn 20000007
int n,m,prime[maxn],res,phi[maxn];
void get_euler(int n=2e7)
{
    res=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!phi[i])prime[res++]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=0;j<res&&prime[j]*i<=n;j++)
        {
            if(i%prime[j]==0) 
            {
            	phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
            	break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
} 
struct BIT 
{
	#define lowbit(x) (x&(-x))
	ll b[500005];
	int n;
	void init(int _n)
	{
		n=_n;
		for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=0;
	}
	void update(int x,int v)
	{
		if(x>n)return ;
		while(x<=n)
		{
			b[x]+=v;
			x+=lowbit(x);
		}
	}
	ll query(int x)
	{
		ll ans=0;
		while(x)
		{
			ans+=b[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
}bit;
P Pow(ll a,int b,int p)
{
	int ans=1,flag=0;
	if(a==1)flag=(p==1);
	else
	{
		ll temp=1;
		for(int i=1;i<=b;i++)
		{
			temp=temp*a;
			if(temp>=p)
			{
				flag=1;
				break;
			}
		}
	}
	a%=p;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=(ll)ans*a%p;
		a=(ll)a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return P(ans,flag);
}
P Solve(int l,int r,int p)
{
	ll a=bit.query(l);
	if(a==1||l==r||p==1)return P(a%p,a>=p?1:0);
	P b=Solve(l+1,r,phi[p]);
	if(b.second)b.first+=phi[p];
	return Pow(a,b.first,p);
}
int main()
{
	get_euler();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	bit.init(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int a;
		scanf("%d",&a);
		bit.update(i,a);
		bit.update(i+1,-a);
	}
	while(m--)
	{
		int op,l,r,p,x;
		scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&p);
		if(op==1)bit.update(l,p),bit.update(r+1,-p);
		else printf("%d\n",Solve(l,r,p).first);
	}
	return 0;
}

Newcoder 132 E.简单数据结构1（BIT+数论）

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