矩阵的tr

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在线性代数中， $n$ 乘 $n$ 方阵 “ $\boldsymbol{A}$” 的迹，是指 “ $\boldsymbol{A}$” 的主对角线各元素的总和（从左上方至右下方的对角线），例如：
$tr(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}_{1,1}+\boldsymbol{A}_{2,2}+...+\boldsymbol{A}_{n,n}$

其中 $\boldsymbol{A}_{ij}$ 代表在 $i$ 行 $j$ 列中的数值。

迹的英文为“trace”，是来自德文中的“Spur”这个单词（与英文中的“Spoor”是同源词），在数学中，通常简写为“Sp”。

性质

迹是一种线性算子。亦即，对于任两个方阵 $\boldsymbol{A}$ 、 $\boldsymbol{B}$ 和标量 $r$，会有下列关系：
$tr(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=tr(\boldsymbol{A})+tr(\boldsymbol{B})$

$tr(r\boldsymbol{A})=r\cdot tr(\boldsymbol{A})$

因为主对角线不会在转置矩阵中被换掉，所以所有的矩阵和其转置矩阵都会有相同的迹：
$tr(\boldsymbol{A})=tr(\boldsymbol{A}^T)$

设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n\times m$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是个 $m\times n$ 矩阵，则：
$tr(\boldsymbol{AB})=tr(\boldsymbol{BA})$

其中 $\boldsymbol{AB}$ 是 $n\times n$ 矩阵，而 $\boldsymbol{BA}$ 是 $m\times m$ 矩阵。

上述可以由矩阵乘法的定义证明：
$tr(\boldsymbol{AB})=\sum\limits_{i=1}^n (\boldsymbol{AB})_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m \boldsymbol{A}_{ij}\boldsymbol{B}_{ji}=\sum\limits_{j=1}^m \sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{B}_{ji}\boldsymbol{A}_{ij}=\sum\limits_{j=1}^m(\boldsymbol{BA})_{jj}= tr(\boldsymbol{BA})$

利用这个结果，我们可以推导出方阵的乘积和其任何循环置换的乘积会有相同的迹，称为迹的“循环性质”。例如，有三个方阵 $\boldsymbol{A}$、 $\boldsymbol{B}$、 $\boldsymbol{C}$，则：
$tr(\boldsymbol{ABC})= tr(\boldsymbol{CAB})=tr(\boldsymbol{BCA})$

更一般化地，当矩阵不被假设为方阵，但其所有乘积依然存在时，其迹依然会完全相同。

若 $\boldsymbol{A}$、 $\boldsymbol{B}$、 $\boldsymbol{C}$ 为有着相同维度的方阵而且对称的话，其乘积的迹不只在循环置换下不会改变，而是在所有的置换下均不会改变，亦即
$tr(\boldsymbol{ABC})= tr(\boldsymbol{CAB})=tr(\boldsymbol{BCA})=tr(\boldsymbol{BAC})=tr(\boldsymbol{CBA})=tr(\boldsymbol{ACB})$

以上内容编辑：崔健棣