线性相关的等价命题
向量组α1，α2，…，αm是线性相关的 <==> 向量组α1，α2，…，αm中至少有一个向量可由其他向量线性表出。
首先证明左边可推出右边：
若向量组α1，α2，…，αm是线性相关的，则存在m个不全为0的实数k1，k2，…，km，使得 k1α1+k2α2+k3α3+···+kmαm=0成立；
假设是km≠0，则等式两边同时÷km，可得到：
（k1/km）α1 + （k2/km）α2 + （k3/km) α3 + ··· + αm = 0;
移项，得：
αm = - (k1/km) α1 - （k2/km) α2 - ··· - (km-1/km) αm-1；
结论：即αm可由剩下的m-1个向量线性表出
结论：即若有向量组是线性相关的，则一定至少有一个向量可以由剩下的向量线性表出
再证明右边可推出左边：
假设 αm 可以由α1，α2，···，αm-1 线性表出，即有：
am = k1α1 + k2α2 + ··· + km-1αm-1 ；
上式移项，得：
k1α1 + k2α2 + ··· + km-1αm-1 - αm = 0；
∵ 存在 k 个不全为 0 的实数，k1，k2，···，km-1，-1，使得
k1α1 + k2α2 + ··· + km-1αm-1 + kmαm = 0 成立 （km=-1）
∴ 向量组α1，α2，···，αm-1，αm 是线性相关的
结论：若向量组α1，α2，···，αm中至少有一个向量可由其它向量线性表出，则该向量组是线性相关的
线性无关的等价命题
由线性相关的等价命题及相关证明，可以得出线性无关的等价命题：
向量组α1，α2，···，αm线性无关 <==> 任何一个向量αx都无法由剩下的向量线性表出
其它命题1
若向量组α1，α2，···，αm线性无关，而α1，α2，···，αm，β是线性相关的，则β可由α1，α2，···，αm线性表出，且是惟一表出。
证明：
已知 α1，α2，···，αm，β是线性相关的，则存在m+1个不全为0的实数k1，k2，···，km，km+1，
使得 k1α1 + k2α2 + ··· + kmαm + km+1β = 0 成立；
且 km+1 ≠ 0 ;
若 km+1 = 0，则上述条件可表述为 ： 存在m个不全为0的实数k1，k2，···，km
使得 k1α1 + k2α2 + ··· + kmαm = 0 成立；则说明，若km+1 = 0，则可推出 α1，α2，···，αm 是线性相关的。与题设矛盾。
故km+1 ≠ 0 ;