MIT线性代数--9，线性相关、基、维数。

这节课主要讲的是：向量的线性相关；什么是向量组生成的空间；什么是空间中的基；什么是子空间的维数；

线性相关：

在 向量空间V的一组向量 A:

，如果存在 不全为零的数 k ₁, k ₂, ···,k _m , 使

则称向量组 A是线性相关的 ^[1]  ，否则数 k ₁, k ₂, ···,km全为0时 _，称它是 线性无关。

由此定义看出

是否线性相关，就看是否存在一组 不全为零的数 k ₁, k ₂, ···,k _m使得上式成立。

即是看

这个 齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而

线性相关。

上面是在百度百科上的概念；

下面是一个例子：

在二维平面上要满足什么关系的两个向量才是线性相关？三个向量是否线性相关？（三个向量不平行）

先来回答第一个问题：根据概念显然，只要两个向量平行，他们便满足线性相关的概念（当然也包括零向量，因为只要零向量前面的系数不是零，而非零向量前面的系数为零。）

在回答第二问题之前我们先来思考这样一个问题：我们可以把向量是否线性相关看成，AX=0是否有非零解。

那我们只要分析系数矩阵A就可以得出答案；

考虑这样一个问题：A是一个规模大小为m*n，若m<n时，此时相当于未知数的个数要多于方程的个数，那么矩阵A经过化简后

必然存在一些无关行，也就是说存在一些自由变量——————所以一定存在非零解；

现在回到上面的问题：二维平面上的三个向量相当于m=2,n=3;所以他们一定是线性相关的；

总结：一个矩阵的秩R<n的话，那么矩阵的所有列向量就是线性相关的；若R=n的话就是线性无关；

向量生成的空间：

如果一个空间由向量 

v1,v2,⋯,vn

v1,v2,⋯,vn 的所有线性组合构成，那么称这个空间为 v1,v2,⋯,vnv1,v2,⋯,vn 生成的空间，可记为

span{v1,v2,⋯,vn}.

显然 span{v1,v2,⋯,vn}span{v1,v2,⋯,vn} 是包含 v1,v2,⋯,vnv1,v2,⋯,vn 的最小的线性空间，因为如果一个线性空间包含 v1,v2,⋯,vn    v1,v2,⋯,vn

，则必包含它们的线性组合。

基：

如果线性空间 V 中的向量 v1,v2,⋯,vd 满足一下两个条件：

v1,v2,...Vd线性无关；

v1,v2,...Vd生成 V；

那么称 v1,v2....Vd

是 V 的一组基。

线性空间V的任何一组基中所含向量的个数都相同。

n+1 个 n 维向量必定线性相关。因为考虑以这 n+1 个 n 维向量为列向量的 n×(n+1) 维矩阵 A ，则 Ax=0 一定有非零解（未知数个数多余方程个数，必有自由变量）。

维数：

1.线性空间的基中所含向量的个数称为这个线性空间的维数；

2.r= 主列（主元所在的列）的个数 = 列空间的维数，零空间的维数 =自由变量的个数；