从线性组合来看:
如果向量组
α1,α2,...,αs
(s
≥
1)线性相关
⟷
k1α1+k2α2+...+ksαs=0
,其中
k1,k2,...,ks
不全为0.
如果向量组
α1,α2,...,αs
(s
≥
1)线性无关
⟷
k1α1+k2α2+...+ksαs=0
,其中
k1=k2=...=ks=0
.
从线性表出来看:
如果向量组
α1,α2,...,αs
(s
≥
2)线性相关
⟷
其中至少有一个向量可以由其他向量线性表出.
如果向量组
α1,α2,...,αs
(s
≥
2)线性无关
⟷
其中每一个向量都不可以由其他向量线性表出.
从齐次线性方程组来看:
如果列向量组
α1,α2,...,αs
(s
≥
1)线性相关
⟷
齐次线性方程组
x1α1+x2α2+...+xsαs=0
有非零解.
如果列向量组
α1,α2,...,αs
(s
≥
1)线性无关
⟷
齐次线性方程组
x1α1+x2α2+...+xsαs=0
只有零解.
从行列式来看:
若n个n维列(行)向量组
α1,α2,...,αn
线性相关
⟷
以
α1,α2,...,αn
为列(行)向量组的矩阵的行列式等于零.
若n个n维列(行)向量组
α1,α2,...,αn
线性无关
⟷
以
α1,α2,...,αn
为列(行)向量组的矩阵的行列式不等于零.
从向量组线性表出的一个向量的方式来看:
若向量
β
可以由向量组
α1,α2,...,αs
线性表出,且表出方式唯一,
⟷
则向量组
α1,α2,...,αn
线性无关.
若向量
β
可以由向量组
α1,α2,...,αs
线性表出,且表出方式有无穷多种,
⟷
则向量组
α1,α2,...,αn
线性相关.
从向量组与它部分组的关系来看:
若向量组的一个部分组线性相关
⟶
则整个向量组线性相关.
若向量组线性无关
⟶
则它的任何一个部分向量组线性无关.
(以上二者为逆否命题)
从向量组与它的延伸组或伸缩组的关系来看:
如果向量组线性无关,那么把每个分量添上
m
个分量(所添加的分量的位置对于每个向量都是一样的)得到的延伸组也线性无关;
如果向量组线性相关,那么把每个分量去掉
m
个分量(所添加的分量的位置对于每个向量都是一样的)得到的延伸组也线性相关.