线性代数笔记——向量组的线性相关及线性表示

一、向量组的线性相关与线性无关

1、定义：设 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 是 $F^{n}$ 中的向量组，如果存在不全为零的常数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}\in F$ ,使得 $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+\cdots+k_{t}\alpha _{t}=0$ 则称向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 是线性相关的，否则，称向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 是线性无关的.

2、说明

（1）如果向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性无关，那么 $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+\cdots+k_{t}\alpha _{t}=0\Rightarrow k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{t}=0$

（2）一个向量组不是线性无关的就一定是线性相关的

（3）含有零向量的向量组一定是线性相关的

（4）向量组 $\alpha$ 线性无关的充分必要条件是 $\alpha\neq 0$

（5）向量组 $\alpha,\beta$ 线性相关的充分必要条件是 $\alpha$ 与 $\beta$ 的对应分量成比例.如果

$\alpha =\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}, \beta =\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix}$ ,那么 $a_{1}:b_{1}=a_{2}:b_{2}=\cdots=a_{n}:b_{n}$

（6）设 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 是 $F^{n}$ 中的向量组， $\alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},\cdots,\alpha _{i_{s}}$ 是 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 中的部分向量构成的向量组.

①如果 $\alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},\cdots,\alpha _{i_{s}}$ 线性相关，则 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性相关;

②如果 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性无关，则 $\alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},\cdots,\alpha _{i_{s}}$ 线性无关.

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（7）向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 存在不全为零的常数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$ ,使得

$k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+\cdots+k_{t}\alpha _{t}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t})\begin{pmatrix}k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{t} \end{pmatrix}=0$

3、命题4 向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解.

$x_{1}\alpha _{1}+x_{2}\alpha _{2}+\cdots+x_{t}\alpha _{t}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t})\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{t} \end{pmatrix}=AX=0$

二、向量由向量组的线性表示

1、设 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 是 $F^{n}$ 中的向量组，如果 $\beta \in F^{n}$ 能够表示为 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 的线性组合，即存在F中的常数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$ ，使得 $\beta =k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+\cdots+k_{t}\alpha _{t}$ ，则称 $\beta$ 可由向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性表示.

2、命题5 设向量 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t},\beta \in F^{n}$ ,向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性表示的充分必要条件是线性方程组(*)有解.

$x_{1}\alpha _{1}+x_{2}\alpha _{2}+\cdots+x_{t}\alpha _{t}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t})\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{t} \end{pmatrix}=\beta \: \: \: \: \: \: (*)$

3、定理1 $F^{n}$ 中的向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}(t\geq 2)$ 线性相关的充分必要条件是向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 中至少存在一个向量可由其余向量线性表示.

证明：①必要性

设向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性相关.根据线性相关的定义得知，存在不全为零的常数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$ ，使得

$k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+\cdots+k_{t}\alpha _{t}=0$

如假设 $k_{i}\neq 0$ ,则 $a_{i}=(-\frac{k_{1}}{k_{i}})\alpha _{1}+\cdots+(-\frac{k_{i-1}}{k_{i}})\alpha _{i-1}+(-\frac{k_{i+1}}{k_{i}})\alpha _{i+1}+\cdots+(-\frac{k_{t}}{k_{i}})\alpha _{t}$

因此， $\alpha _{i}$ 可由 $\alpha _{1},\cdots,\alpha _{i-1},\alpha _{i+1},\cdots,\alpha _{t}$ 线性表示.

②充分性

设 $\alpha _{i}$ 可由 $\alpha _{1},\cdots,\alpha _{i-1},\alpha _{i+1},\cdots,\alpha _{t}$ 线性表示，那么存在常数 $k _{1},\cdots,k _{i-1},k _{i+1},\cdots,k _{t}$ 使得

$\alpha _{i}=k_{1}\alpha _{1}+\cdots +k_{i-1}\alpha _{i-1}+k_{i+1}\alpha _{i+1}+\cdots+k_{t}\alpha _{t}$

即有 $k_{1}\alpha _{1}+\cdots +k_{i-1}\alpha _{i-1}+(-\alpha _{i})+k_{i+1}\alpha _{i+1}+\cdots+k_{t}\alpha _{t}=0$

因为 $k _{1},\cdots,k _{i-1},-1,k _{i+1},\cdots,k _{t}$ 不全为零，所以向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性相关。证毕

4、定理2 如果 $F^{n}$ 中的向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性无关，向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t},\beta$ 线性相关，那么向量 $\beta$ 可以由 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性表示，并且表示方式唯一的.

三、向量组的线性表示

1、定义：设 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 与 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 是 $F^{n}$ 中的两个向量组.如果 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 中的每个向量都可由 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 线性表示，则称 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 可由 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 线性表示.

2、命题6 设 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 是 $F^{n}$ 中的向量组， $\alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},\cdots,\alpha _{i_{s}}$ 是 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 中的部分向量构成的向量组，那么 $\alpha _{i_{1}},\alpha _{i_{2}},\cdots,\alpha _{i_{s}}$ 可由 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 线性表示.

3、定理3 设 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 与 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 是 $F^{n}$ 中的两个向量组.那么下列结论成立：

（1） $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 可由 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 线性表示的充分必要条件是存在 $t*s$ 矩阵 $C=(c_{ij})$ ，使得

$(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s})=(\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t})C$ .

（2）设 $(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s})=(\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t})C$ ，

①如果 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 是线性无关的，则C是唯一的；

②如果 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 是线性无关的，则 $r(C)=s$

证明如下：

（1）充分性显然成立;

必要性：因为 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 可由 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 线性表示，所以对所有的 $i\in \begin{Bmatrix} 1,2,\cdots,s \end{Bmatrix}$ ，都有

$\alpha _{i}=c_{1i}\beta {1}+c_{2i}\beta _{i+1}+\cdots+c_{ti}\beta _{t}$

因此， $(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s})=(\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t})C$ 其中 $C=(c_{ij})$ 是 $t*s$ 矩阵.

（2）设 $(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s})=(\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t})C$ 如果 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 是线性无关，则根据定理2，对所有的 $i\in \begin{Bmatrix} 1,2,\cdots,s \end{Bmatrix}$ ，

$\alpha _{i}$ 可由 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 唯一地表示为 $\alpha _{i}=c_{1i}\beta {1}+c_{2i}\beta _{i+1}+\cdots+c_{ti}\beta _{t}$ ,因此，C的第i列是唯一的，从而C是唯一的.

如果 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 是线性无关的,用反证法证明 $r(C)=s$

假设 $r(C)<s$ ,则根据定理1.6，齐次方程组CX=0有非零解 $(k_{1},k_{2},\cdots,k_{s})^{T}$ ，于是

$k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+\cdots+k_{s}\alpha _{s}= (\alpha _{1},\cdots,\alpha _{s})\begin{pmatrix}k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{s} \end{pmatrix}=(\beta _{1},\cdots,\beta _{s})C\begin{pmatrix}k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{s} \end{pmatrix}=0$

并且 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}$ 不全为零，这意味着 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 是线性相关的，与假设矛盾.

因此，如果 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 是线性无关的，则 $r(C)=s$

推论1 设 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 与 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 是 $F^{n}$ 中的两个向量组，如果 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 可由 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 线性表示，并且

$\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 线性无关，那么 $s\leq t$ .

推论2 如果向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 可由 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 线性表示， $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{t}$ 可由 $\gamma _{1},\gamma _{2},\cdots,\gamma _{u}$ 线性表示,那么

$\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{s}$ 可由 $\gamma _{1},\gamma _{2},\cdots,\gamma _{u}$ 线性表示.