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1.1 为什么要先总结一些EXCEL计算矩阵的工具性知识， 而不是一开始就从基础学起呢？
3.3.1 一次函数：形如如 y=ax+b 或 z=ax+by+c
4.2.2 原始严格定义1（更直观：1个向量与多个其他向量的关系）
4.2.3 严格定义2 （把 所有要比较的向量看作一个整体）
6.3 对应到EXCEL的操作，EXCEL的数组公式= 线性代数计算
1 写在前面的话
1.1 为什么要先总结一些EXCEL计算矩阵的工具性知识， 而不是一开始就从基础学起呢？
还是那个老问题和老答案：虽然一般的学习路径是需要先了解基础知识才能运用。但是我觉得先能用到觉得有用，然后再去提问，这样的反馈循环能促进人的学习，我更适合后者，能用到了再回过头来学习更好
另外，上学时是学过线代的，但是现在全忘了，还是因为没有理解导致的，这次尽量能先学懂，再考虑去学习各自计算技巧，多去思考和理解线性代数的本质，而不是只会算几个题而已，那样过段时间还是会忘。
最后：最大的原因，直接这么找一本书埋头学，不以应用的目的去学，我可能早放弃了
1.2 关于线性代数入门时的各种灵魂发问：
- 什么是线性
- 什么是线性相关 ？
- 为什么叫线性变换？
- 为什么叫线性代数？
其实回答这些问题，还是会者不难，难者不会，但是对初学者理清概念非常重要。
学一门课的时候知道它在干啥为什么要研究这些问题真的很重要，虽然这些问题需要深度学习后才能有较深的理解，但是我试着开头就回答下这些问题，以后可以逐步来修改，毕竟，这是学习笔记而已。
1.3 学习资料
- 能看知乎，别看百度，能看B站，别看知乎
- 百度写的你看不懂，
- 知乎写的很可能都是片段
https://www.bilibili.com/video/BV16Z4y1U7oU/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click3bule1brown的视频，B站有原作者自己发的视频，有多牛逼就不用我说了
https://www.bilibili.com/video/BV1rs411k7ru/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=5fa6d2958ae880d9550a17f8050fd5ed- MIT《introduction to linear algebra》
- 《线性代数应该这样学》
- 《程序员的数学，线性代数》
- 《马同学图解线性代数》
- 《线性代数及其应用》
- 《线性代数的几何意义》
- 《简明线性代数》
2 什么是线性(关系)？
- 最直观的回答是：直线型？长的像直线的就是线性关系
- 图形上，形如直线的就是线性？
- 那从函数形式上看呢？ y=Ax是吗？ y=Ax+b 是吗？
- 这些说法对吗？
2.1 线性的到底是一种什么关系：
线性关系=正比例/正相关关系 ≠ 直线型关系
线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
什么是线性呢？文字定义
- 是一种正比例关系，正相关关系
- 是一种，自变量（输入内容）按比例变化，因变量（输出内容）按相同比例变化的关系
- 而不是只是直线性关系就是线性关系，直线性关系还不够
- 所以y=ax 是线性关系
- 而y=ax+b 只是直线性关系，不是线性关系
反例：非线性
比较，确实不是正比例
- y1=F1(x)=ax
- y2=F2(x)=ax+b
从其他学科的角度看：非线性就表示输入输出不是一种正比例关系
- 比如y看成是输出，x看成是输入
- 把函数 y=F(x)=ax+b ，显然y和x不是正比例关系
- 而函数 y=F(x)=ax，显然y和x就是是正比例关系
2.2 一次函数的只是一种 直线性关系
- 一次函数，只是一种直线型关系
- 过原点的一次函数才是线性关系，y=ax是线性关系
2.3 线性的严格定义
- 线性：linear
- 非线性：non-linear，nonlinearity
线性，必须满足齐次性和可加性，才算线性
- 齐次性：L(ax)=aL(x)
- 可加性/叠加性/叠加原理：L(x+y)=L(x) + L(y)
从定义上看，因为 ky=k(ax+b)=kax+kb ≠ kax+b 所以 y=ax+b 确实不是线性关系！
线性代数中的矩阵 AX=Y，虽然是有矩阵做参数，但本质也是函数 ，都可以用线性函数的定义来看
3 从函数的角度看线性
一般的相法就是，函数里的线性，应该就是直线性吧？这样对吗？
3.1 一些函数的定义回顾
- 一元函数, 只有1个自变量的函数，y=F(x)
- 二元函数, 只有2个自变量的函数，z=F(x,y)
- ...
- 一次函数, 形如 y=F(x)= ax+.....+b 之类的函数，所有自变量的次数最高为1
- 甚至 y=sinx也是一次函数
- 二次函数, 形如 y=F(x)= ax^2+bx.....+c 之类的函数，所有自变量的最高次为2次
- ...
- 一元一次函数, 形如 y=F(x)= ax+.....+b 之类的函数
- 二元一次函数, 形如 z=F(x,y)= ax+by.....+c 之类的函数
- 二元二次函数, 形如 z=F(x,y)= ax^2+bx+cy^2.....+c 之类的函数
3.2 函数与几何图形的对应
- 一次函数，y=ax+b 在2维空间是一条直线
- 一次函数，z=ax+by+c 在3维空间是一个平面
- 2元1次函数 z=F(x,y)=ax+by+c 可以形变为 ax+by-z+c=0 就是3维空间里的一个平面
- 2次函数，y=ax^2 在2维空间是一条曲线
- 2次函数，y=ax^2+by^2+c 在3维空间是一个曲面
3.3 一次函数和线性函数 不是一回事
3.3.1 一次函数：形如如 y=ax+b 或 z=ax+by+c
- 只能叫 直线性关系
- 函数和自变量之间存在一次方函数关系
- 图形是上是一条直线，如 y=ax+b有斜率a 和截距b
- 极端的例子，y=cosx 是一次函数，但是不是线性函数
3.3.2 特殊一次函数：形如y=ax 或 z=ax+by
- 图形上是过原点的一次函数，如 y=ax 只有斜率
- 这个叫线性关系，或者 正比例关系/正相关关系
3.4 函数和矩阵的联系
3.4.1 函数和矩阵
- y=ax，是函数
- y=Ax，是函数，也是矩阵变换，其中A是矩阵，y,x 都是向量
- 本质 y=ax 和 y=Ax 就是一回事
3.4.2 函数方程组 和 矩阵
- 矩阵就是由向量组成的
- 向量/数组
- 函数方程组 → 系数矩阵 → 增广矩阵
- 所以函数的线性相关，在矩阵里也很重要
3.5 某种意义上说，这就是线性代数的本质？
- y=ax，是函数，y和x是单个数字
- y=Ax，是函数，也是矩阵变换，其中A是矩阵，y,x 都是向量
- 但是本质 y=ax 和 y=Ax 就是一回事可以统一起来
- 所以，线性代数，其实就是处理 向量/数组的数学，而不是处理单个数字的数学！？
4 线性相关在向量/矩阵里的作用和应用
4.1 线性相关
线性相关是针对个多个变量说的
- 2个向量，它们线性相关，或线性无关
- 3个向量，它们线性相关，或线性无关
- ....
- n个向量，它们线性相关，或线性无关
4.2 线性相关的严格定义
- 正面：线性相关---→ 就是等价向量
- 反面：线性无关/线性独立
4.2.1 直观的感觉
- 某向量经过线性变化后可以变换成另外一个向量，
- 如果有多个向量，其中一个可以被其他向量线性组成，那么就是线性相关的，否则就是线性无关的
- 比如 {1,2,3} ,{2,4,6} 这2个向量显然就是线性相关的
- 也就是{2,4,6} =2*{1,2,3} = {2*1,2*2,2*3}
4.2.2 原始严格定义1（更直观：1个向量与多个其他向量的关系）
注意这里，α1是一个数组/向量，而不是数组里的一个具体的数字,比如α1={x1,x2......}
(线性代数矩阵等肯定是研究 数组/向量之间的关系，而绝不是单个数字之间的关系)
如果 A中的多个向量： α1, α2, α3, .....αn ，如果存在一组实数k1,k2,k3....kn，
可以使得b=k1*α1+ k2*α2+...+ kn*αn ,
那么b 就和A包含这多个向量组 α1, α2, α3.....αn是线性相关的。
这一组实数k1,k2,k3....kn不要求全不为0
举例子
- RGB，比如 (255,255,0) 可以用 k1* (100,100,0) +k2* (0,255,0) 组成，所有是线性相关的，所以(255,255,0) 和k1* (100,100,0) +k2* (0,255,0) 某些时候是等价的。
- (255,255,0) =255/100* (100,100,0) +0* (0,255,0) 其实 (255,255,0)与(100,100,0) 这1个向量就已经线性相关 了
- RGB，比如 (255,0,0)不能用 k1* (0,100,100)+ k2* (0,255,0) 组成，怎么都不行，所以是线性无关的。
4.2.3 严格定义2 （把 所有要比较的向量看作一个整体）
注意这里，α1是一个数组/向量，而不是数组里的一个具体的数字,比如α1={x1,x2......}
(线性代数矩阵等肯定是研究 数组/向量之间的关系，而绝不是单个数字之间的关系)
如果 A中的多个向量：α1, α2, α3, .....αn ，如果存在不全部为0的一组实数k1,k2,k3....kn，可以使得k1*α1+ k2*α2+...+ kn*αn=0 ,
那么这些向量 α1, α2, α3, α4, .....αn就是线性相关的
4.2.4 线性相关的几何意义
线性相关是针对个多个变量说的，那这些变量如果线性相关会有什么几何表现呢？
- 2个向量
- 3个向量
- ....
- n个向量
1维向量之间线性相关？有意义吗？
- 首先一维向量，都是数轴直线上的一个点，看不出什么几何意义
2维向量之间线性相关
- 2个2维向量线性相关
- 在XOY平面上的同一条直线上，方向相同或不同
- 在XOY平面是平行关系（理论上存在，实际上xoy向量空间里没这种向量）----我觉得向量的空间里，所有向量都是从原点出发的，因此，不存在有2个向量平行这种说法和可能性。所以才可以用终点坐标(0,1) 这种就代表了一个向量，默认所有向量都是从原点出发的。
- 3个2维向量线性相关
- 其中1个可以线性变化为另外1个
- 其中2个可以线性变化为另外1个，就是这2个向量可以线性相加为第3个，就是三角形关系
- 4个2维向量线性相关
- 其中1个可以线性变化为另外1个
- 其中2个可以线性变化为另外1个
- 其中3个可以线性变化为另外1个，就是这3个向量可以线性相加为第4个
......
多个3维向量之间的线性相关的几何关系就不好想象了
4.3 线性组合的意思
- 比如某向量组{v1,v2...vn} 可以是2个，3个或更多
- 但是一般是2个向量组--组成XOY平面，而3个向量组组成XOYOZ空间
- V=span(v1,v2,....,vn) ={k1v1+k2v2+....+kb*vn}
- 也就是某向量组{v1,v2...vn} 进行任意线性组合，其结果仍然在向量空间内。
4.3.1 线性组合的具体方法
线性组合的方法包含如下这些：
- 加法
- 标量乘法
4.4 线性变换
线性变换包含，行的线性变换和列的线性变换
行的线性变换
- 行之间，交换
- 某行乘以倍数
- 某行乘倍数+到其他行
列的线性变换
- 列之间，交换
- 某列乘以倍数
- 某列乘倍数+到其他列
4.5 线性变换（线性映射）的意义？
线性变换，指的是线性空间上，满足
T(α+β)=T(α)+T(β)
T(kα)=kT(α)
那这和直线有什么关系？
- 见线性相关的定义，这个和成正反比例关系很大，和直线的关系也有！
- 标量乘法：数乘运算，可以看作直线上做伸缩+方向变换
- 加法运算：可以用三角形法则，首位相接的形式可以来解释，2个分段向量可以等价于1个总向量图形上生成的还是直线。
- 这种映射把空间里原来的 直线，仍然映射成 直线，而不会“扭曲”成曲线；
- 同时保持原点不动(原点动的就叫“仿射变换”了…)
4.6 线性相关的其他意义
- 如果不用空间的视角，
- 比如用RGB颜色叠加的思路，加入有一种维度更高的色彩构成比如RGBXXX
- 其实3维，4维。。。n维不过都是多个向量空间叠加而成
5 线性无关/线性独立
5.1 线性无关的定义
- 与前面的定义相反
5.2 线性无关有什么用呢？
线性无关最典型的例子：
- 向量空间的基之间都是线性无关的。（线性相关的向量无法作为线性空间的基）
6 线性代数的本质
6.1 线性代数和普通代数的区别
- 有种说法是这样的
- 普通代数，就是以 单个数为研究对象的数学
- 线性代数，就是以 数组（数组/向量：把多个数当作整体）为研究对象的数学
6.2 某种意义上说，这就是线性代数的本质？
- y=ax，是函数，y和x是单个数字
- y=Ax，是函数，也是矩阵变换，其中A是矩阵，y,x 都是向量/矩阵
- 但是本质 y=ax 和 y=Ax 就是一回事可以统一起来
- 所以，线性代数，其实就是处理 向量/数组的数学，而不是处理单个数字的数学！？
6.3 对应到EXCEL的操作，EXCEL的数组公式= 线性代数计算
- 工作表函数，公式的操作对象是1个单元格
- 数组函数，公式的操作对象是数组（多个单元格）
- 这么理解数组公式，其实是挺高级的
6.4 线性代数的核心是什么
- 核心是线性空间(向量空间)，及其线性映射
- 矩阵其实是线性变换的一个额外生造出来的辅助工具，1个类似 y=ax的参数数字a的类似的1个多维参数
6.5 线性代数是人造的，还是自然的？
- 从我的层面，我只能理解到，这是数学家们发明的一个精巧的工具，用来认识世界和解决问题的数学工具，思考工具，计算工具
- 笛卡尔的坐标系是一种线性坐标系（一般是指 直角坐标系）
- 而线性代数，在努力摆脱坐标系的影响，其实坐标系在线性代数里就是基，而比如向量矩阵，除了默认的自然基 (0,1) (1,0) 这种，理论上可以有无数组非线性相关的基，也就是坐标系可以很灵活选择，也可以很灵活的变换，不需要非是某些特别的坐标系。