第九讲二阶常系数齐次线性ODE

一，标准形式：

${y}''+A{y}'+By=0$ ，A和B是常系数

二，求特征方程：

设 ${\color{Red} y=e^{rt}}$ ，t是自变量
${y}'=re^{rt}$ ， ${y}''=r^{2}e^{rt}$
标准形式化为： $r^{2}e^{rt}+Are^{rt}+Be^{rt}=0$
两边同时除以 $e^{rt}$ ，得特征方程： $r^{2}+Ar+B=0$

三，解特征方程得通解，有三种情况：

r是两个不同的实数： $r_{1}$ ， $r_{2}$

通解： ${\color{Red} y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}}$
$y_{1}$ 、 $y_{2}$ 为方程的两个解，且线性无关
$c_{1}$ 、 $c_{2}$ 为任意常数
设初始条件 $y$ 、 ${y}'$ ，建立方程组，解出 $c_{1}$ 、 $c_{2}$
将 $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 代入通解，解得特解

r是一对共轭复数： $r=a\pm bi$

$y=e^{(a\pm bi)t}$ ，是复函数
定理：如果复函数 $y=u(t)\pm iv(t)$ 是实微分方程 ${y}''+A{y}'+By=0$ 的解，那么 $y_{1}=u$ 、 $y_{2}=v$
证明：视频31:00~33:15
$y=e^{(a+bi)t}=e^{at}e^{ibt}=e^{at}cos(bt)+ie^{at}sin(bt)$
$y=e^{(a-bi)t}=e^{at}e^{-ibt}=e^{at}cos(-bt)+ie^{at}sin(-bt)=e^{at}cos(bt)-ie^{at}sin(bt)$
$u=e^{at}cos(bt)$ ， $v=e^{at}sin(bt)$
通解： ${\color{Red} y=c_{1}u+c_{2}v=e^{at}(c_{1}cos(bt)+c_{2}sin(bt))}$
$e^{at}$ 表示震荡的幅度， $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 表示幅值， $bt$ 表示频率， $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 为任意常数
设初始条件 $y$ 、 ${y}'$ ，建立方程组，解出 $c_{1}$ 、 $c_{2}$
将 $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 代入通解，解得特解
利用辅助角公式： $asinx+bcosx=\sqrt{a^{2}+b^{2}}cos(x-\phi )$ ， $\phi =arctan(\frac{a}{b})$
化简特解： ${\color{Red} y=e^{at}(c_{1}cos(bt)+c_{2}sin(bt))=\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}cos(bt-\phi )}$ ， ${\color{Red} \phi =arctan(\frac{c_{2}}{c_{1}})}$
$\phi$ 表示相位滞后（右移）

r是两个相等的实数： $r=-a$ ， $a> 0$

标准形式： ${y}''+2a{y}'+a^{2}y=0$ ， $A=2a$ ， $B=a^{2}$
特征方程： $r^{2}+2ar+a^{2}=0$
$y_{1}=e^{-at}$
${\color{Red} y_{2}=y_{1}u=e^{-at}u}$
${y}'=-a\cdot e^{-at}u+e^{-at}{u}'$
${y}''=a^{2}\cdot e^{-at}u-a\cdot e^{-at}{u}'-a\cdot e^{-at}{u}'+e^{-at}{u}''$
将 $y$ 、 ${y}'$ 、 ${y}''$ 代入标准形式 ${y}''+2a{y}'+a^{2}y=0$
解得： $e^{-at}{u}''=0\Rightarrow {u}''=0\Rightarrow u=C_{1}t+C_{2}$
设 $C_{1}=1$ ， $C_{2}=0$ ，得 $u=t$
${\color{Red} y_{2}=y_{1}u=e^{-at}t}$
通解： ${\color{Red} y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{-at}+c_{2}e^{-at}t}$

三，应用：弹簧—质量—阻尼系统

如图
o点为平衡位置，小车静止
问题：求小车位置x随时间t变化的函数？
建立数学模型： $m{x}''=-kx-c{x}'$
$m{x}''$ 表示小车向右的拉力， $-kx$ 表示向左的弹簧力，k表示弹性系数， $-c{x}'$ 表示向左的阻尼力
化为标准形式： ${x}''+\frac{c}{m}{x}'+\frac{k}{m}x=0$
阻尼常数比弹性常数大的情况（无震荡）：
设阻尼常数 $\frac{c}{m}=4$ ，弹性常数 $\frac{k}{m}=3$
原方程变为： ${x}''+4{x}'+3x=0$
特征方程： $r^{2}+4r+3=0$
解得： $r_{1}=-3$ ， $r_{2}=-1$
通解： $x=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}=c_{1}e^{-3t}+c_{2}e^{-t}$
设初始条件： $x(0)=1$ ， ${x}'(0)=0$
建立方程组： $c_{1}+c_{2}=1$ ； $-3c_{1}-c_{2}=0$
解出： $c_{1}=-\frac{1}{2}$ ， $c_{2}=\frac{3}{2}$
代入通解得特解： $x=-\frac{1}{2}e^{-3t}+\frac{3}{2}e^{-t}$
绘制解图像：视频25:00~28:00
阻尼常数比弹性常数小的情况（震荡）：
设阻尼常数 $\frac{c}{m}=4$ ，弹性常数 $\frac{k}{m}=5$
原方程变为： ${x}''+4{x}'+5x=0$
特征方程： $r^{2}+4r+5=0$
解得： $r=-2\pm i$
通解： $x=e^{at}(c_{1}cos(bt)+c_{2}sin(bt))=e^{-2t}(c_{1}cos(t)+c_{2}sin(t))$
设初始条件： $x(0)=1$ ， ${x}'(0)=0$
建立方程组……，解出： $c_{1}=1$ ， $c_{2}=2$
代入通解得特解： $x=e^{-2t}(cos(t)+2sin(t))$
利用辅助角公式化简特解： $x=\sqrt{5}e^{-2t}cos(t-\phi )$ ， $\phi =arctan(\frac{2}{1})\approx 63.4^{\circ}$
绘制解图像：视频40:30~42：30
临界阻尼：
设阻尼常数 $\frac{c}{m}=2a$ ，弹性常数 $\frac{k}{m}=a^{2}$
原方程变为： ${x}''+2a{x}'+a^{2}x=0$
特征方程： $r^{2}+2ar+a^{2}=0$
解得： $r=-a$
通解： $x=c_{1}e^{-at}+c_{2}e^{-at}t$
……

第九讲 二阶常系数齐次线性ODE

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