参照liuzibujian的博客。
问题
已知\(f(n)=c_1∗f(n−1)+c_2∗f(n−2)\)（\(c_1,c_2\) 是常数），已知\(f(0)\)和\(f(1)\)，求\(f(n)\)的通项公式。
结论
先求出上面递推式的特征方程：\(x^2-c_1x-c_2=0\)（式子有点像解\(n\)次方程）。设两根分别为\(x_1,x_2\)。
若\(x_1≠x_2\)，则\(f(n)=A*x1^n+B*x2^n\)
若\(x1=x2\)，则\(f(n)=(A+B∗n)∗x_1^n\) 。（\(A\)和\(B\)可通过\(f(0)\)和\(f(1)\)求出）
例题
已知\(f(n)=4f(n-1)-3f(n),f(0)=3,f(1)=5\),求\(f(n)\)的通项公式。
解：
特征方程为：\(x^2-4x+3=0\)
\(x_1=1,x_2=3\)
\(\because x_1 \ne x_2\)
\(\therefore f(n)=A+B*3^n\)
当\(n=0\)时，\(3=A+B\)；当\(n=1\)时，\(5=A+3B\)
解得\(A=2,B=1\)
\(\therefore f(n)=3^n+2\)
证明
我们可以把递推式转化成一个类似等比数列的东西。
设\(f(n)-r*f(n-1)=s(f(n-1)-r*f(n-2))\)
则\(f(n)=(s+r)*f(n-1)-r*s*f(n-2)\)
可得\(s+r=c_1,s*r=-c_2\)
根据韦达定理，\(s\)和\(r\)是\(x^2-c_1x-c_2=0\)的两根
\(x^2-c_1*x-c_2=0\)称为该递推式的特征方程，两根分别为\(x_1,x_2\)
不妨设\(x_1=r,x_2=s\)，则\(\frac{f(n)-x_1*f(n-1)}{f(n-1)-x_1*f(n-2)}=x_2\)
设\(f(1)-x_1*f(0)=a\)
则\(f(2)-x_1*f(1)=a*x_2\)
……
\(f(n-2)-x_1*f(n-3)=a*x_2^{n-3}①\)
\(f(n-1)-x_1*f(n-2)=a*x_2^{n-2}②\)
\(f(n)-x_1*f(n-1)=a*x_2^{n-1}③\)
\(③+x_1*②\)得：\(f(n)-x_1^2*f(n-2)=a*x_2^{n-1}+a*x_1*x_2^{n-2}④\)
\(④+x_1^2*①\)得：\(f(n)-x_1^3*f(n-3)=a*x_2^{n-1}+a*x_1*x_2^{n-2}+a*x_1^2*x_2^{n-3}\)
发现规律了吗？